كيف يتم تحليل الفرق بين مربعين
كيف يتم تحليل الفرق بين مربعين يختص علم الجبر بدراسة المعادلات وتحليلها، وقد بدأ تطور علم الجبر في عهد المصريين القدماء، إذ قاموا بكتابة الأرقام باستخدام الحروف، وبالأخص كلمة (كومة)، والتي كانت تدل على العدد المجهول (غير المعروف).
بعدها قام العالم الإغريقي الشهير إقليدس بتأليف كتابه الأصول، والذي كان يشمل عدة متطابقات توصل إليها خلال دراسة الأشكال الهندسية ثم نجح الخوارزمي في حل المعادلات ذات الدرجة الثانية بشكل هندسي، ونشر أول جداول النسب، وهي جداول الجيب والجتا والظل.
كيف يتم تحليل الفرق بين مربعين
كيف يتم تحليل الفرق بين مربعين معنى كلمة مربع هو ضرب أي عدد في نفسه، وذلك هو نفسه قانون مساحة المربع، من خلال حساب حاصل الضرب لطول الضلع في نفسه، وعن طريق جدول الضرب فإن:
- مربع العدد 1 يساوي (1)
- مربع العدد 2 هو (4)
- ومربع العدد 3 هو (9)
- مربع العدد 4 هو (16)
- ومربع العدد 5 هو (25)
- مربع العدد 6 هو (36)
- ومربع العدد 7 هو (49)
- مربع العدد 8 هو (64)
- ومربع العدد 9 هو(81)
- مربع العدد 10 هو (100)
- وهكذا من خلال ضرب العدد في نفسه أو تربيعه.
- وعندما نحصل على مربعين، يوجد بينهما اختلاف عندها يكون الفرق بين مساحة المربع الأول ومساحة المربع الثاني يساوي الفرق بين المربعين.
- الفرق بين مربعي حدين هو صيغة للمعادلة التربيعية، أو معادلة الدرجة الثانية، وهو عبارة عن حدين كلاهما مربع، أحدهما مطروح من الآخر، إذ يساوي الفرق بين الحدين مضروبًا في مجموع هذين الحدين، مع ضرورة مراعاة الترتيب في الحدود
- أو بمعنى آخر هو حاصل ضرب (الحد الأول مطروحًا منه الحد الثاني) في (الحد الأول مضافًا له الحد الثاني)، ويكتب على هذه الصورة:
- س²-ص² حيث أن
- س²: هو مربع الحد الأول.
- ص²: هو مربع الحد الثاني.
- س: الجذر التربيعي للحد الأول ص: الجذر التربيعي للحد الثاني.
- بينهما إشارة هي إشارة فرق أو طرح، وهكذا تمثل الفرق بين مربعين، أو الفرق بين مربعي حدين.
شاهد أيضًا: شرح تحليل وتصميم الخوارزميات
خطوات تحليل الفرق بين مربعين
هناك عدة خطوات لابد من إتباعها عند تحليل الفرق بين مربعين وهي كما يلي:
الخطوة الأولى
- يبدأ البحث عن وجود أي عامل مشترك بين جزئي الصيغة، وهو ما يسمى بالعامل المشترك الأكبر، وعند إيجاد العامل المشترك يتم إخراجه من الصيغة المعطاة مع الانتباه إلى ضرورة إضافته للإجابة النهائية.
الخطوة الثانية
تكون جميع معادلات الفرق بين مربعين على الصيغة الآتية: س2 – ص2 = (س – ص) (س + ص) وبالتالي يجب معرفة الجذر التربيعي لجزئي الصيغة حتى تتم كتابتها بالشكل المطلوب.
الخطوة الثالثة
- تحديد ما إذا كانت باقي العوامل بحاجة إلى مزيد من التحليل.
- تحليل الفرق بين مربعين
حتى يمكن تحليل الفرق بين مربعين إلى عوامله، يجب التأكد من أن المقدار مكتوب على الصورة العامة وهي (س²-ص²)، ثم يتم تحليله باتباع عدة خطوات كما يلي:
- أن يتم فتح قوسين العلاقة بينهما تكون ضرب:
- ( )( )
- يتم كتابة إشارة الجمع في القوس الأول (+)
- ويتم كتابة إشارة الطرح في القوس الثاني (-)
- يتم كتابة الحد الأول في كلا القوسين قبل اشارتي الجمع والطرح: (س+) (س-)
- يتم كتابة الحد الثاني في كلا القوسين بعد إشارتي الجمع والطَّرْح: (س +ص) (س-ص)
- هكذا يكون الشكل النهائي:
- س²-ص²= (س +ص) (س-ص)
- يعبر عن الفرق بين مربعين كما يأتي:
- مربع الحد الأول-مربع الحد الثاني=
- (الحد الأول-الحد الثاني)(الحد الأول +الحد الثاني).
أمثلة على كيفيّة تحليل الفرق بين مربعين
بعض الأمثلة التي توضح كيفية تحليل الفرق بين مربعين، وهي كما يلي:
مثال(1)
- حلل المقدار الجبري الآتي إلى عوامله س²-16.
الحل
- الحد الأول س² هي عبارة عن مربع كامل =س×س.
- الحد الثاني 16عبارة عن مربع كامل=4×4.
- الإشارة بين الحدين هي إشارة طرح أو فرق.
- إذًا المعادلة على صورة فرق بين مربعين.
- س²-16= س²-²4.
- يتم تحليل المقدار س²-²4 كما يلي:
- س²-²4= (س-4) (س+4).
مثال(2)
- حلل المقدار التالي إلى عوامله الأولية 4ع²-9.
الحل
- الحد الأول 4ع² عبارة عن مربع كامل =
- 2ع×2ع
- الحد الثاني 9 عبارة عن مربع كامل=3×3
- بما أن الإشارة بين الحدين هي إشارة فرق أو طرح
- إذًا هي على صورة فرق بين مربعين.
- 4ع²-9= (2 ع) ²-²3.
- يتم تحليل المقدار (2ع) ²-²3 كما يلي:
- (2ع) ²-²3= (2ع-3) (2 ع+3).
مثال(3)
- حلل المقدار الجبري الآتي إلى عوامله
ع9م²-ك²
الحل
- الحد الأول 49م² هو عبارة عن مربع كامل=
- 7 م× 7م
- الحد الثاني ك² هو أيضًا عبارة عن مربع كامل= ك ×ك
- الإشارة بين الحدين هي فرق أو طرح
- إذًا المعادلة على صورة فرق بين مربعين.
- 49م²-ك²= (7م) ²-ك².
- يتم تحليل المقدار (7م) ²-ك² كما يلي:
- (7م) ²-ك² = (7 م-ك) (7م+ك).
شاهد أيضًا: بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين في الرياضيات
مثال(4)
- حلل المقدار الآتي إلى عوامله الأولية (ص+1) ² -1
الحل
- الحد الأول (ص+1) ²هو عبارة عن مربع كامل
- الحد الثاني 1 هو عبارة عن مربع كامل
- يتم ملاحظة في هذا المقدار (ص+1) ² -1 عبارة عن فرق بين مربعين
- بما أن العدد 1 مربع كامل (²1=1)
- فإن: (ص+1) ² -1= (ص+1) ² -²1
- يتم تحليل المقدار (ص+1) ² -²1 كما يلي:
- (ص+1)² -²1= ((ص+1) -1)((ص+1) +1).
مثال(5)
- بالاعتماد على تحليل الفرق بين مربعين، أوجد قيمة كل من المقادير التالية: (8.5) ²-(3.5) ².
الحل
يتم ملاحظة أن هذا المقدار يمكن حله بأكثر من طريقة، ولكن المطلوب استخدام طريقة تحليل الفرق بين مربعين، وجب اتباعها كما يلي:
- (8.5)²-(3.5)²= (8.5 -3.5) (8.5 +3.5).
- (8.5)²-(3.5)²= (5) (12).
- إذًا ناتج المقدار (8.5) ²-(3.5) ²يساوي 60.
مثال(6)
- حلل المقدار الجبري (6ب²-24ع²) إلى عوامله. الحل
- يتم ملاحظة أن الحد الأول 6ب² ليس مربعًا كاملًا
- ويتم ملاحظة أن الحد الثاني 24ع² ليس مربعًا كاملًا أيضًا.
- يتم تحويل المقدار الجبري السابق إلى فرقًا بين مربعين، بإخراج العدد 6 كعامل مشترك بين الحدين، إذ أنه عند إخراج العدد 6 من الحدين، يصبح كلاهما مربعًا كاملًا.
- 6ب²-24ع²= 6(ب²-4ع²).
- 6ب²-24ع²= 6((ب²)-(2ع) ²).
- يتم تحليل المقدار 6((ب²) -(2ع²)) كما يلي:
- 6ب²-24ع²=6((ب²)-(2ع²))=
- 6(ب-2 ع) (ب+2ع).
مثال (7)
- عبر عن المقدار الآتي(102×98) بصورة فرق بين مربعين، ومن ثم احسب قيمته العددية.
الحل
- يوم ملاحظة أن (102×98) عبارة عن حاصل ضرب عددين في بعضهما البعض.
- حيث يمثل العدد الأول 102=100+2،
- يمثل العدد الثاني 98=100-2.
- (102×98)=(100 +2)(2-100) (102×98) =(10000 -4).
- إذًا ناتج المقدار(102×98) يساوي 9996
مثال(8)
اكتب المقادير الجبرية التالية في أبسط صورة
(9س2-25)÷ (6س +10)
الحل
- يتم تحليل البسط والمقام إلى العوامل الأولية، حيث أن المقدار 9س2-25 فرق بين مربعين
- يتم إخراج العامل المشترك 2 من المقدار 6 س+10 يصبح المقدار:
- (3س – 5)(3س+5) ÷ (2 (3س+5))،
- يتم حذف المقدار الجبري (3س+5) من البسط والمقام فيكون الناتج:
- (3س – 5)÷2 (س2-5س) ÷(س2-25)،
- يتم اخراج س عامل مشترك في البسط فيصبح المقدار س (س-5)، ويتم تحليل المقام كفرق بين مربعين فيكون الناتج
- (س-5) (س+5)، فتكون الصورة النهائية:
- س (س-5) ÷((س-5) (س+5)،
- وعند اختصار (س-5) من البسط والمقام، يكون الناتج: س÷(س+5).
شاهد أيضًا: من الذي اخترع الصفر
كيف يتم تحليل الفرق بين مربعين كان هو مقالنا اليوم معكم، ونرجو أن تكون عمت الإفادة على الجميع، إذا عجبك المقال لا تنسوا لايك وشير، وننتظر تعليقاتكم واقتراحاتكم.