بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين في الرياضيات
بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين في الرياضيات كانت بدايات علم الجبر منذ عهد المصريين القدماء، إذ قام المصريون القدماء بكتابة المسائل الحسابية على شكل حروف، وكان مصطلح (كومة) يعني العدد (المجهول)، حيث يدخل الجبر في الكثير من الأحداث الواقعية.
التي تحتاج إلى التعبير عنها عن طريق المقادير الجبرية، من أجل تسهيل حلها وإيجاد المطلوب بشكل أكثر سهولة ويسر.
المكعب
- المكعب( Cube)، يطلق على المجسم الذي يتكون من ستة أوجه يمثل كل منها شكلًا مستويًا، وله 12 حرف جميعها متساوية ومتطابقة في الطول، وقياس كل زاوية من زوايا أوجه المكعب تساوي 90 درجة.
- أما مكعبات الأعداد ( Cube of a number)، فهي تعني ضرب العدد بنفسه ثلاث مرات أي العدد مرفوعًا للأس ثلاثة.
- بينما الجذور التكعيبية للأعداد ( Cube root of a number)، هي الرقم الذي يتم ضربه بنفسه ثلاث مرات، ولكن الناتج هو العدد الذي يوجد تحت إشارة الجذر، على سبيل المثال الجذر التكعيبي للعدد ثمانية يساوي اثنان، وذلك لأن 8=2× 2 ×2.
شاهد أيضًا: كيف تصبح عالمًا في الرياضيات
قانون الفرق بين مكعبين
قانون الفرق بين مكعبين هو حالة خاصة من حالات ضرب كثيرات الحدود، حيث يتمثل في صيغة تتكون من حدين مكعبين، يفصل بينهما علامة الطرح كما يلي:
- س3 – ص3 = (س – ص) (س2 + س ص + ص2)
- وهو من القوانين الشائعة التي تستخدم في حل كثير من المسائل الحسابية المختلفة.
مثال
إذا وجد خزانين من المياه على شكل مكعب، إذ أن طول ضلع الخزان الأول (الخزان الأكبر) س، وطول ضلع الخزان الثاني (الخزان الأصغر) ص، مع العلم أن الخزان الأول مملوء بالماء ويقوم بصب الماء في الخزان الثاني.
حتى يمتلئ الخزان الثاني تمامًا، وحتى يتم التعبير بصورة جبرية عن كمية المياه المتبقية في الخزان الكبير لا بد من إتباع عدد من الخطوات كما يلي:
- يتم تحديد حجم الماء الموجود في الخزان الأول، وبما أن الخزان مكعب الشكل
- إذًا حجم المكعب= طول الضلع تكعيب
- أي حجم الماء بالخزان الأول= س³.
- يتم تحديد حجم الماء الموجود بالخزان الثاني، وبما أن الخزان الثاني أيضًا مكعب،
- إذًا حجم الماء في الخزان الثاني= ص³.
- حساب كمية المياه الباقية في الخزان الأول بعد ملء الخزان الثاني، ويكون ذلك عن طريق القيام بطرح حجم المياه التي توجد في الخزان الثاني من كمية المياه التي توجد في الخزان الأول، وبهذا فإن كمية المياه المتبقية بالخزان= س³-ص³.
- هذا المقدار الجبري س³-ص³ هو الفرق بين مكعبين، أي يعني طرح حدين مكعبين من بعضهما البعض.
- بالتالي تكون الصيغة العامة للفرق بين مكعبين هي: س³-ص³.
تحليل الفرق بين مكعبين
الفرق بين مكعبين هو حالة خاصة من كثيرات الحدود، حيث يتم طرح حدين يمثل كل منها مكعبًا كاملًا، وحتى يتم تحليل هذا المقدار لا بد من القيام بعدد من الخطوات كما يلي:
الخطوة الأولى
يتم كتابة المقدار بصورة الفرق بين مكعبين.
الخطوة الثانية
- يتم طرح الحد الثاني من الحد الأول.
الخطوة الثالثة
- يتم تربيع الحد الأول.
الخطوة الرابعة
- يتم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني.
الخطوة الخامسة
- يتم تربيع الحد الثاني.
الخطوة السادسة
- يتم تطبيق صيغة تحليل الفرق بين مكعبين كالآتي: تحليل الفرق بين مكعبين=
- (الحد الأول)³- (الحد الثاني)³ =
- (الحد الأول- الحد الثاني)× (الحد الأول تربيع +الحد الأول× الحد الثاني+ الحد الثاني تربيع).
الرموز
- س³-ص³= (س-ص) × (س²+س ص+ص²)،
إذ أن
- (س) الحد الأول
- (ص) الحد الثاني.
أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين
بعض الأمثلة على كيفية تحليل الفرق بين مكعبين
مثال (1)
- حلل العبارة الآتية: 8س³-ص6.
الحل
- الحد الأول 8س³ عبارة عن مكعب كامل
- =2 س×2 س ×2 س
- الحد الثاني ص6 عبارة عن مكعب كامل
- =ص²×ص²×ص²،
- حيث أن الإشارة بين الحدين هي إشارة فرق أو طرح
- إذًا هي على صورة فرق بين مكعبين.
- 8س³-ص6= (2 س) ³-(ص²)³.
- يتم تحليل المقدار (2س) ³-(ص²) ³ كالآتي:
- (2س) ³-(ص²)³= (2س-ص²) × (2 س) ²+ (2س×ص²) + (ص²)²).
- (2س) ³-(ص²)³= (2س-ص²) × (4س²+ (2س× ص²) + ص4).
مثال(2)
- حلل العبارة الآتية: (س+3)4-س-3.
الحل
- الحد الأول لا يمثل مكعبًا كاملًا.
- الحد الثاني لا يمثل أيضًا مكعبًا كاملًا.
يلاحظ هنا أن (س+3) عامل مشترك بين الحدين. _ يتم إخراج (س+3) عاملًا مشتركًا بين الحدين، وبهذه الحالة سيتم بسهولة تحويل هذا المقدار إلى صورة فرق بين مكعبين، كالآتي:
- (س+3)4-س-3= (س+3)4-(س+3).
- يخرج (س+3) عاملًا مشتركًا
- (س+3)×(س+³3) -1) (س+3) ×(س+3) ³ -1) = (س+3) ×(س+3-1) ×(س+3) ²+(س+3) +1).
- يتم تبسيط المقادير التي بحاجة لتبسيط، وتحلل المقادير المراد تحليلها كالآتي:
- (س+3-1)= (س+2) (س+3) ²
هذه العبارة تمثل عبارة تربيعية تحلل حسب القانون الآتي:
- (الحد الأول تربيع+ 2 ×الحد الأول × الحد الثاني+ الحد الثاني تربيع).
- (س+3)²= (س²+2×س×3+²3)، (س+3)²
- = (س²+6 س+9).
- يتم الرجوع إلى المقدار الأصلي، ينتج أن:
- (س+3)×(س+3) -1)
- = (س+3) × (س+2) × (س²+6س+9 +س+3+1).
- (س+3)×(س+2)
- = (س+3) × (س+2) × (س²+7س+13).
شاهد أيضًا: كيف تصبح ذكيًا بالرياضيات
مثال(3)
- حلل المقدار الآتي إلى عوامله: 8ع³-27.
الحل
- الحد الأول 8ع³ عبارة عن مكعب كامل
= 2ع×2ع ×2ع
- الحد الثاني 27 عبارة عن مكعب كامل
=3×3×3
- حيث أن الإشارة بين الحدين هي إشارة طرح
- إذًا هي فرق بين مكعبين.
8ع³-27= (2 ع) ³-³3.
يتم تحليل المقدار (2ع) ³-³3 كالآتي:
- (2ع) ³-³3 = (2ع-3) × (2ع) ²+ (2ع×3) + (²3).
- (2ع) ³-³3 = (2ع-3) × (4ع²+6ع+9).
مثال (4)
- حلل العبارة الآتية: 64-125، باستخدام تحليل الفرق بين مكعبين.
الحل
- الحد الأول 125 عبارة عن مكعب كامل
- =5×5 ×5
- الحد الثاني 64 عبارة عن مكعب كامل
- = 4×4×4. 64-125
- = (5)³-(4)³. (5)³-(4)³
- = (4-5)×((5)²+(5×4)+(4)²) (5)³-(4)³
- = (1) × (25 +20+ 16).
- (5)³-(4)³ = 61.
مثال(5)
- خزان مكعب الشكل، مخصص لتعبئة العصير في عبوات مكعبة من العصير، فإذا علمت أن طول ضلع الخزان يساوي ص.
- وطول ضلع العبوة الواحدة يساوي س، فإذا قام العمال بتعبئة 125 عبوة من العصير، أوجد المقدار الجبري الذي يعبر عن كمية العصير المتبقية بالخزان، ثم حلل المقدار
الحل
- حجم الخزان يساوي ص³، أما حجم العبوات التي تم تعبئتها يساوي 125س³.
- وحجم العصير المتبقي بالخزان= حجم العصير في الخزان-حجم العصير المعبأ بالعبوات.
- حجم العصير المتبقي بالخزان= ص³-125س³
- يتم تحليل هذا المقدار كالآتي:
- ص³-125س³= (ص-5 س) × (ص²+5س ص+25س²).
مثال(6)
- حلل المقدار الآتي إلى عوامله: [٣] (64-216ص³)
الحل
- الحد الأول 64 عبارة عن مكعب كامل
- = 4×4 ×4
هكذا الحد الثاني 216ص³ عبارة عن مكعب كامل
- = 6 ص× 6 ص× 6 ص،
- حيث أن الإشارة بين الحدين هي إشارة طرح
- إذًا هي على صورة فرق بين مكعبين.
- 64 – 216ص³= (4)³ – 6ص³.
- يتم تحليل المقدار (4) ³ -6ص³ كالآتي:
- (4)³- 6ص³
- = (4-6 ص) × (4)²+ (4×6ص) + (6ص) ²).
- (4)³- 6ص³
- = (4-6ص) × (16) + (24ص) + (36ص²).
شاهد أيضًا: كيف أذاكر الرياضيات بسهولة
خاتمة بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين في الرياضيات
هكذا تكلمنا اليوم عن بحث عن تحليل الفرق بين مكعبين في الرياضيات ونرجو أن تكون المعلومات التي قدمتها إليكم مفيدة للزائر، إذا عجبك المقال لا تنسى لايك وشير لتعم الفائدة على الجميع.