مقدمة في التحليل العددي

مقدمة في التحليل العددي علم الرياضيات بحر واسع، وأساس كل العلوم التي يعتمد عليها الإنسان في الحياة، فلا يستطيع علم أن يقوم بدون الاعتماد على علم الرياضيات، ويشتمل علم الرياضيات على الكثير من الفروع ومن هذه الفروع الرياضيات العددية.

التحليل العددي

• التحليل العددي (Numerical analysis)، هو أحد فروع علم الرياضيات، وعلم الكمبيوتر (الحاسب الآلي)، حيث يقوم التحليل العددي على مبدأ إنشاء، وتحليل، وتنفيذ، عدد من الخوارزميات (نسبة إلى محمد بن موسى الخوارزمي عالم الرياضيات).
  • للوصول إلى حلول رقمية للمشاكل الرياضية التي بنيت على مجموعة من التغيرات والتقلبات المستمرة.
  • وقد تتكون هذه المشاكل أيضًا في العلوم الاجتماعية، والطبيعية، والهندسة، والطب وقد يطلق أسماء أخرى على التحليل مثل التحليل الكمي، أو الطرق العددية.
• ونتيجة لنمو الحاسب الرقمي نموًا هائلًا، وتواجده بوفرة، وكونه أصبح من أساسيات الحياة، ما أدىإلى زيادة الحاجة إلى تحليل النماذج الرياضية في الهندسة والعلوم، وذلك للعمل على حل التعقيدات الموجودة في هذه العلوم.
• في الفترة(١٩٨٠-١٩٩٠)، ظهر نظام يجمع بين التحليل العددي، والحسابات الرياضية الرمزية، ورسومات الكمبيوتر.
  • وغيرها من مجالات علوم الكمبيوتر، وذلك حتى يمكن تسهيل إنشاء نماذج رياضية معقدة للعالم وحلها وتفسيرها، وفي كل الأحوال، يمكن أن تكون الخوارزمية التي تحل.
• مسألة جيدة الشروط ثابتة عدديًا، أو قد تكون غير ثابتة عدديًا، فالأمر لا يتعلق فقط بطبيعة المسألة بل بطريقة حلها بالتالي تكون مهمة التحليل العددي كذلك إيجاد خوارزميات مستقرة لحل المسائل السيئة الشروط.

شاهد أيضًا: كيف تصبح عالمًا في الرياضيات

طرق رياضية في التحليل العددي

يتم في التحليل العددي دراسة جميع جوانب المشكلة الموجودة من الناحية العددية، ويكون ذلك عن طريق استخدام التطور النظري.

وفهم الطرق العددية، ومحاولة تنفيذها على شكل برامج حاسوب، حيث تتميز هذه البرامج بمقدار كبير من الثقة والفاعلية.

وقد قام المحللين العددين المختصين بوضع مجموعة من الاهتمامات ووجهات النظر المشتركة فيما بينهم، والتي تشتمل على الطرق الرياضية للتحليل العددي، ومن هذه الطرق التي اتفق عليها المحللين العددين ما يلي:

الطريقة الأولى

• عند مواجهة أي مشكلة مستعصية ولا يمكن حلها بطرق مباشرة، يمكن استبدال هذه المشكلة بغيرها تكون قريبة منها حيث يمكن حلها بسهولة ويسر، ومن الأمثلة على هذه الطريقة استخدام الاستيفاء في تطوير أساليب الدمج الرقمي، وطرق استكشافية للجذور.

الطريقة الثانية

• وتتم هذه الطريقة عن طريق استخدام التحليل الحقيقي، والتحليل الوظيفي، والجبر الخطي.

الطريقة الثالثة

• وفي هذه الطريقة يتعين فهم طبيعة الخطأ، والمشكلة قبل تقريبها، حيث يساعد ذلك على إنشاء عمليات استقراء لتحسين معدل أسلوب التقارب للطريقة العددية.

شاهد أيضًا: كيف يتم تحليل الفرق بين مربعين

الطريقة الرابعة

يتم استخدام عديدة الحدود (polynomial) وهي عبارة عن تعبير جبري يحتوي على مجموعة من الأرقام والمتغيرات التي تم تنسيقها تبعًا لنمط معين، على سبيل المثال النموذج التالي:

• ل س ن، حيث أن (ل) عبارة عن معامل س، وهو ينتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، (ن) عبارة عن الدرجة أو القوة.
  • وهو ينتمي لمجموعة الأعداد الصحيحة، فعلى سبيل التوضيح المثال التالي له جذور حساسة.
  • (p(x) = (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4) (x − 5) (x − 6) (x − 7 p(x) = x7 − 28×6 + 322×5 − 1,960×4 − 6,769×3 − 13,132×2 + 13,068x − 5,040.
• فإذا تم تغيير معامل x6 إلى −28.002، فإن الجذور الأصلية (5 ,6) تتغيّر إلى الأعداد المركبة 5.459 0.540i—a.
  • وهو تغيير مهم في القيم، ويطلق على (س) كثير الحدود اسم غير مستقر فيما يخص مشكلة اكتشاف الجذر.
  • ويجب ألا تكون الطرق العددية لحل المشكلات أكثر حساسية للتغيرات في البيانات أكثر من المشكلة الأصلية التي يجب حلها، بالإضافة إلى أنه يتعين أن تكون صياغة المشكلة الأصلية مستقرة أو جيدة).

تطبيقات التحليل العددي في الحياة

هناك عدد من التطبيقات المختلفة التي يستخدم فيها التحليل العددي ومن هذه التطبيقات ما يلي:

• يستخدم التحليل العددي في تقدير تيارات المحيطات.
• يستخدم التحليل العددي في البرمجة العلمية.
• يدخل التحليل العددي في منحنى تركيب جداول البيانات.
• يستخدم التحليل العددي في تدفقات الاحتراق النموذجية في محطات الطاقة باستخدام الفحم.
• يدخل التحليل العددي في أنماط تدفق الهواء في الجهاز التنفسي.
• يساعد التحليل العددي في تصميم وتحليل أنظمة التحكم بالطائرات.
• المحاكاة العائدة لمكوك الفضاء.
• يساعد التحليل العددي في تحليل الطاقة الكهرومغناطيسية للكشف عن الرادار.
• وغيرها الكثير من التطبيقات المختلفة والهامة في الحياة.

تاريخ التحليل العددي

• نشأت الخوارزميات حوالي 1650 سنة قبل الميلاد، حيث كانت تهتم بطرق الحصول على الجذر حتى يمكن حل المعادلات البسيطة، وقد قام عهد من العلماء اليونانيون القدامى بتطوير العديد من طرق العد.
  • ومن هؤلاء العلماء إيودوكسوس من كنيدوس، وأرخميدس الذي كان يتقن طريقة الاستنباط لحساب المساحات والأطوال وأحجام الأشكال الهندسية، كذلكقام إسحاق نيوتن جوتفريد لايبنتز بتطوير حساب التفاضل والتكامل.
• مما ساعد على الحصول على نماذج رياضية شديدة الدقة في مجال علوم الفيزياء، والطب، والهندسة، والأعمال التجارية.
  • وأهم ما كان يميز هذه النماذج الرياضية هو أنها كانت نماذج معقدة للغاية.
  • بحيث لا يمكن الوصول إلى حلول صريحة لها.
  • وقد بذلت الكثير من الجهود من أجل الوصول إلى حلول تقريبية مفيدة للغاية.
  • مما كان ذلك دافعًا رئيسيًا لاستخدام التحليل العددي.
• من الجوانب المهمة أيضًا في عملية تطوير الأساليب العددية، هي إيجاد اللوغاريتمات عن طريق مجموعة من العلماء الرياضيين.
  • ومنهم العالم الرياضي الأسكتلندي جون نابيير وكان ذلك في عام ١٦١٤م.
  • حيث كان يتم استبدال عمليتي الضرب والقسمة.
  • والاستعاضة عنهما بعمليتي الجمع والطرح
  • وذلك عن طريق تحويل القيم الأصلية بناءًا على جداول خاصة.
• قد ساعدت هذه الطريقة المخترع تشارلز باباج (١٧٩١- ١٨٧١)على تصنيع أول حاسب آلي وقد قام نيوتن بوضع العديد من القوانين الفيزيائية الأساسية.
  • وقام بابتكار العديد من الطرق العددية لحل الصعوبات والمشاكل الرياضية.
  • ومن أهم إنجازاته إيجاد الجذور وإيجاد معادلة عديدة الحدود التي تناسب مجموعة من البيانات.
  • وقدم من بعده العديد من الرياضيين إنجازات هامة ساعدت في إثراء التحليل العددي بشكل كبير.
  • ومن بين هؤلاء العلماء الفرنسي جوزيف لاغرانج (١٧٣٦-١٨١٣م).
  • والألماني كارل فريدريش جاوس (١٧٧٧-١٨٥٥)و السويسري ليونارد أويلر(١٧٠٧-١٧٨٣م).

أساليب حل المعادلات غير الخطية باستخدام التحليل العددي

هناك مجموعة من الأساليب العددية يطلق عليها الطرق التكرارية، والتي تجد جذورًا قريبة جدًا من الجذور المطلوبة.

إذ يفترض أن القيمة الأولية هي x0، ومن أكثر الطرق المستخدمة في إيجاد جذور المعادلات غير الخطية، ما يأتي:

• مبرهنة القيمة الوسطى (Mean Value theorem).
• طريقة التكرار (Iterative Method).
• طريقة نيوتن-رافسون (Newton -Raphson Method.

أنواع الأخطاء في التحليل العددي

هكذا تلعب الأخطاء (Error) دورًا محوريًا وهامًا في التحليل العددي وهي تبين مدى دقة وسرعة الطريقة المستخدمة في الحل، وأنواع الأخطاء هي كالتالي:

• الخطأ المطلق (Absolute Error) الخطأ المطلق المرتكب في العدد المقرب القيمة المطلقة للفرق بينه وبين القيمة الفعلية.
• الخطأ النسبي(Relative) الخطأ المرتكب في عدد ما تقريبي لنسبة الخطأ المطلق لمرتكب بهذا العدد إلى القيمة المطلقة للعدد الفعلي.

ملاحظات عامة

• الخطأ النسبي لا يتأثر بالخطأ كثيرًا، بينما الخطأ المطلق يتأثر بشكل كبير وملحوظ.
  • لذا غالبًا ما يتم الاعتماد على الخطأ النسبي.
• كلما كانت قيمة الخطأ الناتجة صغيرة جدًا كلما كان هذا أفضل.
  • وعلى العكس تمامًا من ذلك فكلما كبرت قيمة الخطأ ظهرت الحاجة أكثر للبحث عن إجراء رياضي يعمل على تقليل أو تحسين قيمة الخطأ الناتج.

شاهد أيضًا: ما الفرق بين العدد والرقم في الرياضيات

هكذا ونكون بهذا أنجزنا مقالنا اليوم عن مقدمة في التحليل العددي ونرجو أن تكون المعلومات المقدمة مفيدة ليكم، لا تنسوا لايك وشير للمقال، لتعم الاستفادة على جميع المتابعين.