كيف احسب مساحة وحجم الاسطوانة

كيف احسب مساحة وحجم الاسطوانة تتعدد الاشكال الهندسية وتتنوع سواء في الشكل أو في الابعاد، إذ تستخدم فى عدد كبير من التطبيقات في حياتنا اليومية، ومن أبرز هذه الأشكال الهندسية التي نستخدمها، (الأسطوانة).

ما هي الأسطوانة

الأسطوانة (cylinder)، هي عبارة عن مجسم ذو قاعدتين كل منهما على شكل دائرة، هاتين الدائرتين متقابلتين ومتطابقتين، بينهما جانبين ممتدين بشكل مستقيم، وينتج الشكل الأسطواني عن التفاف المستطيل حول أحد أضلاعه بدورةً كاملة، ويسمى هذا الضلع محور الأسطوانة.

شاهد أيضًا: كيف احسب مساحة الغرفة بدون متر

يوجد نوعان من الأسطوانات وهما:

  • أولًا :-(الأسطوانة القائمة)، حيث يكون محور الأسطوانة متعامدًا مع قاعدتي الاسطوانة.
  • ثانيًا:-(الأسطوانة المائلة)، حيث يكون محور الأسطوانة غير متعامدًا مع قاعدتي الاسطوانة.
  • الأسطوانة تشبه المنشور إلى حدٍ كبير، فكلما زاد عدد أوجه المنشور ازداد قربا من شكل الأسطوانة.
  • الأسطوانة لها ارتفاع، ومحور، ونصف قطر.
  • (ارتفاع الأسطوانة)، هو خط عمودي مستقيم يصل بين القاعدتين الدائرتين ويمثل المسافة بينهما.
  • (محور الأسطوانة)، هو الخط الذي يصل بين منتصف قاعدتي الاسطوانة.
  • (نصف قطر الأسطوانة)، هو نصف قطر القاعدة الدائرية.

المساحة

  • المساحة هي قياس للمنطقة التي تنحصر في نطاق معين على سطح ما، مثل المنطقة التي تنحصر بين أربع خطوط بنفس الطول، اثنان من هذه الخطوط متوازيين، والاثنان الآخران من الخطوط متعامدين مع الخطين الأولين، فتعطي على سبيل المثال شكل مربع، ويقاس على نفس الطريقة باقي مساحة الأشكال الهندسية الأخرى.

استخدامات الأسطوانة

تستخدم الأسطوانة في عدد من تطبيقات الحياة العملية منها ما يلي:

  • مضخات المياه، فهي عبارة عن مجسم على شكل أسطواني، يستخدم لضخ الماء للخارج عن طريق قوة دفع كبيرة.
  • آلة صناعة المنسوجات، حيث أن آلة تمشيط الألياف والخيوط التي تتكون منها المنسوجات والملابس عبارة عن مجسم أسطواني الشكل. _ المطابع، حيث أن الآلة التي يدور حولها الورق للطباعة تكون على شكل أسطواني.
  • علم الآثار حيث أن كثير من آثار الشعوب القديمة مثل المصريين القدماء والآشوريون والبابليون تأخذ شكل مجسمات أسطوانية، مثل الأعمدة المنقوشة والمنحوتة.

كيف احسب مساحة وحجم الاسطوانة

عند حل المسائل الخاصة بحساب مساحة الأسطوانة يمكن حساب المساحة الجانبية للأسطوانة، أو يمكن حساب المساحة الكلية للأسطوانة، حسب ما ورد في السؤال، ويتم الحساب كالاتي: حساب مساحة الأسطوانة الجانبية

  • قد يكون المطلوب هو حساب مساحة قاعدة الأسطوانة، وفي هذه الحالة بما أن القاعدتين دائرتين متطابقتين فإنه يمكن استخدام قانون حساب مساحة الدائرة والذي هو(نق2π)
  • 2 × π × قطر الدائرة
  • حيث أن قيمة π تساوي 22/7 ويساوي تقريباً (3.14).
  • إذا كان المطلوب للحل هو حساب المساحة الجانبية للأسطوانة فإنه يجب حساب مساحة المستطيل، حيث إن مساحة المستطيل تساوي الطول × العرض، ولكن ارتفاع هذه الأسطوانة هو طول هذا المستطيل (أو عرضه)، بينما محيط الدائرة الموجودة في القاعدة يمثل عرض المستطيل (أو طوله)، لهذا يمكن كتابة قانون حساب المساحة الجانبية للأسطوانة كالآتي
    المساحة الجانبية للأسطوانة =
  • 2 × π × نق × ع
    حيث تمثل المساحة الجانبية للأسطوانة حاصل ضرب محيط الدائرة في ارتفاع الأسطوانة،
  • أي 2 ×π× نصف القطر× ارتفاع الأسطوانة.
  • حيث أن قيمة π تساوي 22/7 ويساوي تقريباً (3.14).
  • يتم قياس مساحة الأسطوانة الكلية باستخدام وحدات قياس المساحة مثل سنتيمتر تربيع، أو متر تربيع أو ميليمتر تربيع.

شاهد أيضًا: كيفية التحويل من قدم إلى متر

مثال:

  • أراد بستاني طلاء نصف ساق شجرة بمادة الجير من أجل أن يحافظ على الشجرة ويحميها إذا كان طول ساق هذه الشجرة 10م، ونصف قطر جذعها هو 0.75م، احسب المساحة التي يجب على البستاني طلاؤها (اعتبر أن الساق أسطوانية بشكل ممتاز) ؟!

الحل:

  • حيث أنه سوف يقوم بطلاء نصف الساق فهذا يعني أن ارتفاع الأسطوانة التي نحن بصدد حساب مساحتها هو 5م، الآن يمكن استعمال قانون المساحة الجانبية المساحة الجانبية للأسطوانة =2× π × نق × ع
  • المساحة الجانبية للأسطوانة =
  • 2×π×5×0.75=23.57م
  • المساحة التي يجب على البستاني طلائها من أجل حماية الشجرة = 23.57 م

حساب مساحة الأسطوانة الكلية

  • المساحة الكلية للأسطوانة هي مساحة الدائرة التي توجد في الأعلى، مضافاً إليها مساحة الدائرة التي توجد بالأسفل مضافاً إليهم مساحة المستطيل.
  • مساحة المستطيل= الطول × العرض
  • مساحة الدائرة= مربع نصف القطر مضروباً بالعدد π
  • حيث أن قيمة π تساوي 22/7 ويساوي تقريباً (3.14).
  • إذًا: مساحة الأسطوانة الكلية = مساحة الدائرة في الأعلى + مساحة الدائرة في الأسفل + مساحة المستطيل
  • ولكن الدائرة التي في أعلى الأسطوانة مطابقة تماماً للدائرة التي في أسفل الاسطوانة، وهذا يعني أنهما يمتلكان نفس المساحة
    إذًا: مساحة الاسطوانة الكلية = 2 × مساحة الدائرة في الأعلى + مساحة المستطيل
  • مساحة الاسطوانة الكلية =
  • 2×π × نق2 + 2×π × نق× ل
  • حيث إن “نق” هو نصف قطر الدائرة، و”ل ” هو ارتفاع هذه الأسطوانة (أو عرض المستطيل)، بينما “2×π×نق” هو طول المستطيل، حيث إن طول المستطيل هو محيط الدائرة نفسه الذي في الأعلى أو الأسفل.
  • يتم قياس مساحة الأسطوانة الكلية باستخدام وحدات قياس المساحة مثل متر تربيع، أو سنتيمتر تربيع، أو ميليمتر تربيع.

مثال

  • محل بسكويت لديه وعاء أسطواني الشكل، مساحة سطحه الكلية هي 785 سم2، ونصف قطر قاعدته هي 5 سم، كم هو ارتفاع هذه العلبة؟

الحل:

حتى نتمكن من إيجاد ارتفاع هذه العلبة لابد من الاستعانة بقانون حساب المساحة الكلية للأسطوانة:

  • مساحة الاسطوانة الكلية =
  • 2×π × نق2 + 2×π × نق× ل
    • 785 = 2×π×5×2 + π×5²×ل 785 = 157 + (31.4 × ل) 31.4 × ل = 628 ل = 20 سم.
  • أي إن ارتفاع هذه العلبة هو 20 سم.

الحجم

  • الحجم هو الحيز ثلاثي الأبعاد الذي تشغله المجسمات الهندسية، أي أن يكون هناك طول، وعرض، وارتفاع، وهؤلاء هم الحيز الثلاثي الابعاد.
  • يقاس الحجم بوحدة الأطوال المكعبة وهي المتر المكعب، أو اللتر، والجالون، وهناك الكثير من القوانين الخاصة بحساب حجم أي شكل من الأشكال الهندسية، ويعتمد كل قانون من هذه القوانين على إيجاد حجم الشكل من خلال أبعاد المجسم الهندسي نفسه.

كيف احسب مساحة وحجم الاسطوانة

  • يمكن حساب حجم الاسطوانة من خلال ضرب مساحة قاعدتها في الارتفاع، وبما أنّ القاعدة على شكل دائرة، فإن مساحة قاعدة الأسطوانة هي نفسها مساحة الدائرة، ويمكن حساب الحجم

عن طريق هذا القانون:

  • حجم الاسطوانة =
  • مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة
  • حجم الأسطوانة = π ×نق²× ع
  • (نق) هو نصف قطر هذه الأسطوانة.
  • (ع) هو ارتفاع الأسطوانة.
  • قيمة π تساوي 22/7 ويساوي تقريباً(3.14).

مثال (1)

  • أوجد حجم أسطوانة، إذا علمت أن نصف قطر قاعدة الأسطوانة يساوي 14 سم، وارتفاعها يساوي 10 سم.

الحل:

  • بما أن حجم الاسطوانة =
  • مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
  • إذًا: حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
  • حجم الأسطوانة= 14² ×10 π
  • إذًا: حجم الأسطوانة = π1960 سم³

مثال(2)

  • أنبوب معدني على شكل أسطوانة، مفرغ من الداخل ارتفاعه يساوي 15م، والقطر الخارجي للأسطوانة يساوي 8 م، والقطر الداخلي للأسطوانة يساوي 6 م، احسب حجم المادة التي صنع منها الأنبوب المعدني.

الحل:

أولًا: يتم إيجاد حجم الأسطوانة الخارجي
  • بما أن حجم الأسطوانة الخارجية=
  • مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة
  • إذًا: حجم الأسطوانة الخارجية = π×4²×15. حجم الأسطوانة الخارجية = π×16×15. إذًا: حجم الأسطوانة الخارجية=π240م³.
ثانيًا: يتم إيجاد حجم الأسطوانة الداخلي
  • بما أن حجم الأسطوانة الداخلية=
  • مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة. إذًا: حجم الأسطوانة الداخلية=π×3²×15. حجم الأسطوانة الداخلية=π×9×15.
  • إذًا: حجم الأسطوانة الداخلية=π135م³.

شاهد أيضًا: كيفية حساب النسب المئوية في الرياضيات

ثالثـًا: يتم إيجاد حجم المادة المعدنية.
  • بما أن حجم المادة المعدنية=
  • حجم الاسطوانة الخارجية – حجم الأسطوانة الداخلية.
  • إذًا: حجم المادة المعدنية = π135 -π240 إذًا: حجم المادة التي صنع منها الأنبوب المعدني = π105م³.

نكون بهذا وصلنا لنهاية المقال وقد ذكرنا اليوم معكم كيفية حساب مساحة وحجم الاسطوانة، ونرجو أن تكون المعلومات التي قدمناها إليكم مفيدة، لا تنسوا مشاركة المقال لتعم الاستفادة على الجميع.

قد يعجبك ايضًا

اترك رد

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.