ما هو المتوسط الحسابي
ما هو المتوسط الحسابي يهتم علم الإحصاء (Statistics)، أحد فروع الرياضيات الهامة بجمع وإيجاد الاستنتاجات من خلال توافر مجموعة من البيانات، وأحد هذه الاستنتاجات هي المتوسط الحسابي.
المحتويات
عرض
مقاييس النزعة المركزية
- مقاييس النزعة المركزية، أو ما يطلق عليها (Central tendency)، هي عملية نزوع المشاهدات عن نقطة المركز (نقطة الوسط)، التي تتجمع حولها أكثر التكرارات والمشاهدات.
- ومن أشهر مقاييس النزعة المركزية التي تستخدم في علم الإحصاء الوسط الحسابي، المنوال، الوسط الهندسي، والوسيط، والوسط التوافقي والوسائط).
شاهد أيضًا: ما الفرق بين العدد والرقم في الرياضيات
ما هو المتوسط الحسابي
- المتوسط الحسابي أو يطلق عليه أيضًا الوسط الحسابي، أو المعدل (arithmetic mean) في علم الرياضيات والإحصاء، هو تلك القيمة التي تتجمع حولها مجموعة من القيم.
- ومن خلال هذه القيمة يمكن الحكم على كل القيم الموجودة في المجموعة، ويطلق على هذه القيمة (الوسط الحسابي).
- هذا ويتم حساب المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم عن طريق جمع قيم جميع عناصر هذه المجموعة، وقسمة الناتج الذي ينتج عن عملية الجمع على عدد عناصر المجموعة،
- أي أن المتوسط الحسابي= مجموع جميع عناصر المجموعة ÷ عدد عناصر المجموعة.
- الوسط الحسابي من أكثر المقاييس استخدامًا، إذ يستخدم في كثير من التطبيقات الحياتية المختلفة، مثل: حساب معدل الإنفاق خلال الشهر، وحساب متوسط الزمن المستغرق في القيام بأمر ما.
خصائص المتوسط الحسابي
- المتوسط الحسابي له مجموعة من الخصائص مثله مثل غيره من المقاييس الإحصائية، ومن بعض هذه الخصائص ما يأتي:
- يكون المتوسط الحسابي منحصرًا دومًا بين القيمتين الصغرى والكبرى في مجموعة القيم،
- كذلك إن متوسط مجموعة أعداد هو النقطة على محور الأعداد والتي يكون مجموع كل أبعادها عن كل قيمة من المجموعة يساوي الصفر.
- المتوسط الحسابي لا يعتبر من المعلومات الإحصائية القوية لأنه شديد الحساسية لأي عينات شاذة، أى التي تبعد كثيرًا عن معظم العينات، فكلما كانت العينة الشاذة أبعد زاد تأثيرها في المتوسط الحسابي.
- قيمة المتوسط الحسابي هي عبارة عن عدد نسبي، لا ينتمي إلى مجموعة العيّنة، التي تكون أعداد صحيحة.
- كذلك يوجد مفهوم آخر يشبه المتوسط الحسابي وهذا الوسيط هو القيمة الموجودة بالضبط في المنتصف من مجموعة القيم.
- مجموع انحرافات القيم عن الوسط الحسابي لأي عينة من العينات يساوي صفرًا.
مثلًا
مجموع انحرافات القيم 8،6،4،2،0، عن وسطها الحسابي يكون:
- الوسط الحسابي= (0+2+4+6+8) /5=4. مجموع الانحرافات=
- (0-4)+ (2-4) + (4-4) + (6-4) + (8-4) = 0.
- المتوسط الحسابي لمجموعتين من القيم= الوسط الحسابي للمجموعة الأولى من هذه القيم+ الوسط الحسابي للمجموعة الثانية من هذه القيم.
- في حال استبدال كل رقم من أرقام العينة، بقيمة المتوسط الحسابي، سيكون ناتج الجمع للمجموعة هو نفس ناتج الجمع قبل الاستبدال.
من المستحيل حساب المتوسط الحسابي للفئات التكرارية المفتوحة.
كيفية حساب المتوسط الحسابي
- أولًا: يجب تحديد مجموعة الأرقام، المراد حساب قيمة المتوسط الحسابي لها، ولابد أن تكون هذه الأرقام، أرقامًا حقيقية وغير متغيرة.
- ثانيًا: يتم جمع أرقام العينة يدويًا إذا كان عدد أرقام العينة قليلًا، وقيمتها صغيرة، أو يمكن استخدام الآلة الحاسبة، إذا كان عددها كبيرًا، وقيمتها كبيرة.
- ثالثًا: يتم حساب عدد الأرقام الموجود في العينة، بحيث يدل كل رقم على قيمة، وإذا كانت العينة تحتوي على أرقام متطابقة، يتم حساب كل رقم من هذه الأرقام على أساس أنه قيمة منفردة بذاتها.
- رابعًا: يتم قسمة ناتج جمع أرقام العينة، على عدد الأرقام في العينة، فينتج المتوسط الحسابي أمثلة حساب المتوسط الحسابي.
شاهد أيضًا: طريقة سهلة للقسمة والضرب
بعض الأمثلة لحساب الوسط الحسابي
مثال(١)
- أوجد المتوسط الحسابي للعينة التالية
- (2،2، 4، 6، 6)
الحل
- العينة هي (2، 2، 4، 6، 6)
- مجموع أرقام العينة = 2+ 2+ 4 +6 +6= 20 عدد أرقام العينة = 2، و2، و4، 6، 6 = 5 المتوسط الحسابي = 20 ÷5 = 4
مثال (2)
- أوجد المتوسط الحسابي للأرقام التالية
- (2، 3، 4، 5، 6).
الحل
- العينة المطلوب حساب المتوسط الحسابي لها هي 2، 3، 4، 5، 6.
- مجموع أرقام العينة: 2 + 3 + 4 + 5+ 6 =20
- عدد الأرقام في العينة = 2 و3 و4 و5 و6، عددها 5 أرقام.
المتوسط الحسابي = مجموع أرقام العينة ÷ عدد أرقام العينة = 20÷ 5 = 4
مثال(3)
إذا كان المتوسط الحسابي لمجموعة من القيم هو: 1، 4، 8، 12، س، 5، هو 6،
- فما هي قيمة العنصر س؟
الحل
- مجموع القيم= 1+4+8+12+5+س.
- عدد عناصر المجموعة= 6.
- المتوسط الحسابي= مجموع قيم عناصر المجموعة/ عدد عناصر المجموعة.
- 6= (30+س)/ 6.
- و6×6= 30+س.
- 36=30+س.
- 36-30= س.
- س=6.
مثال(4)
- إذا كان المتوسط الحسابي لدرجات 8 طلاب هو 70، وبعد المراجعة تم استبعاد طالب لحصوله على الدرجة 30، فهل يكون لهذا الاستبعاد الذي حصل تأثير في المتوسط الحسابي؟
الحل
نعم يتأثر المتوسط الحسابي، وذلك نتيجة النقص الذي حصل في عدد الطلاب وبالتالي نقص في عدد عناصر المجموعة ليصبح سبعة طلاب بعد أن كانوا ثمانية، وبالتالي:
- مجموع القيم= المتوسط الحسابي ×عدد القيم مجموع القيم قبل الاستبعاد= 70×8= 560.
- بما أن عدد القيم بعد الاستبعاد قل من 8 إلى 7، بالتالي سنطرح قيمة هذا المستبعد من مجموع القيم، لتصبح: 560-30= 530.
- عدد القيم=7.
- المتوسط الحسابي الجديد بعد الاستبعاد= مجموع القيم الجديد/عدد القيم الجديد.
- المتوسط الحسابي الجديد=530÷7=75.
مثال(5)
- أوجد المتوسط الحسابي لمجموعة القيم التالية 10،20،85،8،36،78، ثم أوجد مجموع الانحرافات لقيم المجموعة عن المتوسط الحسابي.
الحل
- المتوسط الحسابي= مجموع جميع عناصر المجموعة ÷ عدد عناصر المجموعة.
- المتوسط الحسابي=
- (10+20+85+8+36+78)÷6.
- المتوسط الحسابي= 237÷ 6= 39.5.
- مجموع الانحرافات عن المتوسط الحسابي=
- (10-39.5)+(20-39.5)+(85-39.5)+
- (8-39.5)+ (36-39.5) + (78-39.5) =0.
مثال(6)
- يتقاضى أحد العمال أجراً شهرياً مقداره 172 جنيهًا، فإذا علمت أن الشهر 30 يومًا، أوجد معدل أجرة العامل اليومية.
الحل
- نلاحظ بأن 172 جنيهًا هي مجموع الأجرة كاملة وأن عدد الأيام هو 30 يومًا.
- الوسط الحسابي= مجموع الأجرة/عدد الأيام. الوسط الحسابي= 172÷30=5.733 جنيهًا
- إذًا: أجرة العامل اليومية هي تقريبًا خمسة وثلاثة وسبعون جنيهًا.
مثال(7)
- إذا كانت أطوال أربعة طلاب كالآتي: 148سم، 152 سم، 145 سم، 155 سم، أوجد الوسط الحسابي لأطوال هؤلاء الطلاب.
الحل
- الوسط الحسابي= مجموع أطوال الطلبة/ عدد الطلبة.
- الوسط الحسابي=
- (148+152+145+155)/4
- الوسط الحسابي= 4/600
- إذًا: الوسط الحسابي لأطوال الطلبة هو 150 سم.
ما هو المتوسط الحسابي باستخدام برمجية إكسل
إيجاد المتوسط الحسابي أو الوسط الحسابي لا يقتصر على الحل اليدوي فقط، بل يمكن إيجاده عن طريق استخدام الكمبيوتر.
وذلك من خلال برمجية إكسل، وهذا لأهمية الوسط الحسابي الكبيرة في العديد من الأمور العملية، ويتم حساب الوسط الحسابي على برمجية إكسل عن طريق اتباع بعض الخطوات وهي كالتالي:
» الخطوة الأولى
- يتم فتح الكمبيوتر ثم يتم النقر على قائمة ابدأ التي توجد أسفل الشاشة الرئيسية.
» الخطوة الثانية
- من خلال قائمة البرامج يتم اختيار برنامج اكسل.
» الخطوة الثالثة
- هكذا يتم تعبئة البيانات بشكل متسلسل بالخلايا
» الخطوة الرابعة
- هكذا يتم تعيين خلية فارغة لوضع الناتج فيها، بحيث توضع بها إشارة المساواة.
» الخطوة الخامسة
- هكذا يتم اختيار دالة من أعلى الشاشة من قائمة إدراج.» الخطوة السادسة
- هكذا يتم اختيار الدالة (Average)، ثم موافق.
» الخطوة السادسة
- يتم تظليل الخلايا المراد إيجاد الوسط الحسابي لها، ثم اختيار موافق، ليظهر الناتج بعدها في الخلية التي تم تحديدها سابقًا.
شاهد أيضًا: كيفية حساب النسب المئوية في الرياضيات
هكذا وبهذا نكون ختمنا مقالنا اليوم عن طريقة ما هو المتوسط الحسابي نرجو أن يكون المقال قد نال إعجابكم، لا تنسوا لايك وشير للمقال لتعم الفائدة على الجميع.