طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين

طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين علم الإحصاء هو فرع من فروع الرياضيات، وهو ذو تطبيقات واسعة، حيث يهتم علم الإحصاء بجمع وتمثيل وتلخيص وإيجاد الاستنتاجات من خلال مجموعة من البيانات المتوفرة.

وهو علم ذو أهمية كبيرة في شتى مجالات العلوم بداية من علم الفيزياء إلى العلوم الاجتماعية وحتى العلوم الإنسانية، كما يلعب علم الإحصاء دورًا هاما في مجال السياسة والأعمال.

طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين

• هكذا يستخدم علماء علم الإحصاء عدد من المقاييس لتحديد درجة انحراف البيانات عن القيمة المتوسطة وهو ما يطلق (مقاييس التشتت dispersion).
  • هكذا حيث أن التشتت هو أحد أهم خصائص البيانات التي تقوم بتحديد مدى تناغم وتجانس القيم مع بعضها البعض.
  • أو تحديد مدى تباعد هذه القيم عن بعضها البعض، فإذا كانت البيانات متناغمة ومتقاربة ضمن نقطة تركيز معينة.
  • هكذا فإن هذا يعني أنها متناغمة غير مشتتة، أما إذا كانت البيانات متفرقة.
  • ومتباعدة عن بعضها البعض فلا تتجمع ضمن نقطة تركيز معينة، ما يعني أن هذه البيانات مشتتة.
• هكذا مقدار التشتت يكون كبيرًا إذا كانت البيانات متباعدة عن بعضها البعض بشكل كبير.
• هكذا ويكون مقدار التشتت صغيرًا إذا كانت البيانات متباعدة عن بعضها البعض بشكل صغير ومحدود.
  • أي أنها علاقة طردية كلما ازداد تباعد البيانات عن بعضها البعض زاد التشتت.
  • وكلما نقص تباعد البيانات عن بعضها البعض قل التشتت.

التشتت له مجموعة من المقاييس التي تساعد على قياس مدى تشتت القيم أو مدى توافقها، ومن أشهر مقاييس التشتت التي تستخدم في علم الإحصاء ما يلي:

• المدى(Range)
• نصف المدى الربيعي
• الانحراف المعياري (Standard Deviation)
• الانحراف المعياري المتوسط.
• التباين. (Variance)

شاهد أيضًا: طريقة حساب العمر يدويًا

أولًا الانحراف المعياري

• الانحراف المعياري (Standard Deviation)
• هكذا هو أحد مقاييس التشتت التي تعتمد على القيام بإيجاد الفرق.
• أو الاختلاف بين قيمة كل مشاهدة على حدة.
• هكذا إيجاد قيمة المتوسط الحسابي لمجموع المشاهدات.
• هكذا إذ يعد الانحراف المعياري من أفضل المقاييس التي تستخدم لقياس مدى تباعد.
• أو تناغم البيانات عن متوسطها الحسابي.
• هكذا إذ يحسب الانحراف المعياري عن طريق إدخال جميع القيم وحسابها.
• هكذا وليس من خلال قيمتين أو ثلاثة قيم فقط، ولذلك يتميز بدقته عن مقاييس التشتت الأخرى.

خطوات حساب الانحراف المعياري

هكذا حتى يمكن حساب الانحراف المعياري لمجموعة ما من القيم يمكن اتباع عدد من الخطوات، وهي كالتالي:

الخطوة الأولى

• هكذا يتم حساب المتوسط الحسابي لهذه القيم، وذلك عن طريق جمع هذه القيم وتقسيمها على عددها.

 الخطوة الثانية

• هكذا يتم حساب مقدار انحراف كل قيمة من هذه القيم عن المتوسط الحسابي، وذلك بطرح الوسط الحسابي من كل قيمة.

الخطوة الثالثة

• هكذا يتم تربيع انحراف كل قيمة من القيم على حدة، ثم يتم جمع مربعات انحرافات القيم جميعها مع بعضهم البعض.

الخطوة الرابعة

• هكذا يتم تطبيق قانون الانحراف المعياري وهو عبارة عن (الجذر التربيعي لمجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم-1).

أمثلة كيفية حساب الانحراف المعياري

هكذا توضح الأمثلة كيفية حساب الانحراف المعياري لمجموعة من القيم، كما يلي:

مثال (١)

• هكذا احسب الانحراف المعياري للقيم التالية: 3, 2, 4, 5, 6,7, 8.

الحل

• هكذا أولًا: يتم إيجاد المتوسط الحسابي لهذه القيم
• هكذا المتوسط الحسابي للقيم =مجموع القيم ÷ عدد القيم
• والمتوسط الحسابي=(3+2+4+5+7+6+8)÷7
• هكذا المتوسط الحسابي= 35÷7=5
• هكذا إذًا: المتوسط الحسابي للقيم=5

شاهد أيضًا: طريقة حساب كتلة جسم الإنسان

ثانياً:

• هكذا يتم توضيح إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي: القيم القيمة-الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي) ²

القيم	القيمة-الوسط الحسابي	(القيمة -الوسط الحسابي)²
3	3-5 = -2	4
2	2-5 = -3	9
4	4-5 = -1	1
5	5-5 = 0	0
7	7-5 = 2	4
6	6-5 = 1	1
8	8-5 = 3	9

• المجموع 4+9+1+0+4+1+9=28

ثالثًا:

• هكذا يتم تطبيق قانون الانحراف المعياري
• الانحراف المعياري=
• (الجذر التربيعي لمجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم-1).
• الانحراف المعياري للقيم=28 ÷ (7-1)
• الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل
• (28 6)
• الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل
• (4.6666).
• إذًا: الانحراف المعياري للقيم= 2.16 تقريًبا.

مثال (2 )

• هكذا إذا كانت العلامات اليومية لأربعة طلاب من الصف السادس في مادة العلوم كالآتي:5,5,5,5 احسب الانحراف المعياري لعلامات هؤلاء الطلاب

الحل

• بما أن علامات الطلاب متساوية تمامًا، وجميعهم حاصلين على العلامة 5
• هكذا بالتالي متوسط العلامات هي 5.
• هكذا المتوسط الحسابي للعلامات=(5+5+5+5) ÷4
• 20 4 = 5
• هكذا يتم إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي:

القيم	القيمة-الوسط الحسابي	(القيمة -الوسط الحسابي)²
5	5-5 = 0	صفر
5	5-5 = 0	صفر
5	5-5 = 0	صفر
5	5-5 = 0	صفر
المجموع	صفر	صفر

 

• هكذا يلاحظ من الجدول أن انحراف كل قيمة عن المتوسط الحسابي تساوي صفر، وذلك بسبب تشابه كل القيم، إذ إنه لا يوجد أي قيمة تبعد عن المتوسط.
  • هكذا وبالتالي فإن الانحراف المعياري لهذه العلامات صفر: الانحراف المعياري لعلامات الطلاب =
• (الجذر التربيعي لمجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم-1).
• الانحراف المعياري=الجذر التربيعي لـ (0÷3)
• هكذا الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي لـ (صفر).
• هكذا إذًا:
• الانحراف المعياري لعلامات الطلاب =صفر.

ثانيًا التباين

• هكذا يعتبر التباين (Variance)، من القوانين التي يتم استخدامها على نطاقٍ واسع في مجال الإحصاء.
• هكذا حيث يعتمد قانون التباين على أخذ عينة من المجتمع.
• ليس كل عناصر المجتمع بأكمله ثم القيام بإجراء الدراسات والأبحاث على هذه العينة.
• هكذا إذ أن التباين هو أحد مقاييس التشتت التي تعتمد على إيجاد الفرق بين قيمة كل مشاهدة على حدة،.
• والمتوسط الحسابي لمجموع المشاهدات.

طرق حساب التباين

هكذا أولا: التباين في البيانات غير المبوبة

هكذا إذا كان س1، س2، س3، …….، س ن هي مجموعة بيانات من عينة في مجتمع ما عددها ن.

وكان الوسط الحسابي لها يعطى بالعلاقة الرياضية التالية:

• الوسط الحسابي = (س1+ س2+ س3+ …. + س ن) / ن
• هكذا قانون التباين يعطى بالعلاقة الرياضية التالية:
• هكذا قانون التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²/ (ن -1)

مثال

هكذا تم دراسة عينة علامات طلاب كلية العلوم في إحدى الجامعات، وكانت العلامات على النحو الآتي:

هكذا 7، 5، 9، 6، 8 علمًا أن العلامة النهائية هي 20، احسب التباين في علاماتهم.

شاهد أيضًا: كيفية حساب النسب المئوية في الرياضيات

الحل

• هكذا يتم حساب الوسط الحسابي:
• هكذا الوسط الحسابي = (س1+س2+س3+ …. + سن) / ن
• والوسط الحسابي = (7+5+9+6+8) / 5
• هكذا الوسط الحسابي = 35/ 5 الوسط الحسابي = 7.
  نجد قيمة (ن-1):
• ن -1 = 5-1 ن -1 = 4
• هكذا يتم حساب مربعات الانحرافات لكل قيمة من خلال الجدول الآتي:

القيم الموجودة	الانحراف=س-الوسط الحسابي	مربع الانحراف = (س -الوسط الحسابي) ²
7	7-7 = 0	0
5	5-7 = -2	4
9	9-7 = 2	4
6	6-7 = -1	1
8	8-7 = 1	1
هكذا المجموع 35	المجموع صفر	المجموع 10

• هكذا يتم التطبيق على قانون التباين للحصول على التباين: التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²/ (ن-1) التباين = 10/ 4 التباين = 2.5

ثانيا: التباين في البيانات المبوبة

• هكذا يمكن حساب التباين في البيانات المبوبة من خلال القانون الآتي:
• هكذا قانون التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²× (تكرار الفئة) / (ن-1)

مثال

• أوجد التباين للتوزيع التكراري الآتي:

التكرار	الفئة
2	5-0
4	10-5
7	15-10
6	20-15
8	25-20
9	30-25

 

الحل

• هكذا يتم حساب الوسط الحسابي:
• الوسط الحسابي = (س1+س2+س3+ …. + سن) / ن
• هكذا الوسط الحسابي = (2+4+7+6+8+9) / 6
• والوسط الحسابي = 36 / 6
• هكذا الوسط الحسابي = 6
• هكذا يتم حساب تكرار الفئة:
• تكرار الفئة = (0+5) / 2
• هكذا تكرار الفئة = 2.5
• هكذا يستخدم تكرار الفئة 2.5 لكل الفئات.
• نجد قيمة (ن-1): ن-1 = 6-1
• ن-1= 5
  هكذا يتم حساب مربعات الانحرافات لكل قيمة من خلال الجدول الآتي:

هكذا القيم الموجودة	الانحراف=س-الوسط الحسابي	مربع الانحراف = (س -الوسط الحسابي) ²
2	2-6 = -4	16
4	4-6 = -2	4
7	7-6 = 1	1
6	6-6 = 0	0
8	8-6 = 2	4
9	9-6 = 3	9
هكذا المجموع 35	المجموع صفر	المجموع 34

• هكذا يتم تطبيق قانون التباين للحصول على التباين:
• هكذا قانون التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²× (تكرار الفئة) / (ن-1)
• وقانون التباين = (34×2.5) / 5
• التباين = 85÷5
• التباين = 17.

شاهد أيضًا: كيفية حساب مساحة البناء

هكذا وبهذا نكون ختمنا مقالنا اليوم عن طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين نرجو أن يكون المقال قد نال إعجابكم.

هكذا لا تنسوا لايك وشير للمقال لتعم الفائدة على الجميع.