كيف نحسب المساحة والمحيط
كيف نحسب المساحة والمحيط تتنوع الأشكال الهندسية وتختلف من حيث الأبعاد التي تكون الشكل الهندسي، وبالتالي تتغير معها القوانين التي تحدد مساحة الشكل أو محيطه.
المحتويات
عرض
المساحة
- المساحة هي مقدار الفراغ الذي يشغله جسم معين، أو بمعنى آخر، المساحة هي المنطقة المحصورة داخل حدود المضلعات البسيطة والمسطحة، والمساحة لها استخدامات عديدة في الحياة، سوًاء في الزراعة.
- أو في الهندسة المعمارية، أو العلوم وغيرها من جوانب حياة الإنسان، ويمكن حساب مساحة أي شكل هندسي من خلال وضع هذا الشكل الهندسي على المستوى الديكارتي المدرج، وحساب عدد المربعات التي يغطيها هذا الشكل، إذ يكون لكل مربع قياس معلوم.
شاهد أيضًا: مساحة المثلث ومحيطه وحجمه
تاريخ قانون المساحة
حسب النصوص التاريخية المسجلة فإن أول من كتبوا عن قانون المساحة كانت شعوب بلاد ما بين النهرين.
وكان اهتمامهم بها يرجع للقيام بحل أمور عديدة كانت تتعلق بمساحات الأراضي الزراعية وقتها، هذا وقد استخدم قانون المساحة في العصور القديمة في عدة تطبيقات هندسية مهمة من أبرزها ما يلي:
- بناء أهرامات الجيزة في الحضارة المصرية القديمة، باستخدام قانون مساحة المثلث وذلك لبناء أوجه الأهرامات العملاقة على شكل مثلث لكل جهة من الجهات الخاصة بالأهرامات.
- قام الصينيون قبل 100 عام قبل الميلاد باستخدام مساحات الأشكال ثنائية الأبعاد.
- قام العالم يوهانس كيبلر، في الفترة بين القرنين السادس عشر والسابع عشر، بحساب مساحة مقاطع مجتزأة من مدارات بعض الكواكب التي تدور حول الشمس.
- استخدم العالم إسحاق نيوتن عالم الرياضيات مفهوم، وقوانين المساحة في حسابات التفاضل والتكامل.
قوانين مساحة الأشكال الهندسية
تختلف قوانين المساحة باختلاف الأشكال الهندسية واختلاف أبعاد هذه الأشكال وتتمثل قوانين المساحة كالتالي:
مساحة المربع
- مساحة المربع = مربع طول الضلع=طول الضلع×طول الضلع.
- أي = (طول الضلع)2.
مساحة المستطيل
- ومساحة المستطيل=الطول×العرض.
مساحة المثلث
- ومساحة المثلث=نصف طول قاعدة المثلث×الارتفاع.
مساحة الدائرة
- ومساحة الدائرة = مربع نصف قطر الدائرة×النسبة التقريبية ط.
- أي =نق2×ط
مساحة متوازي الأضلاع
- ومساحة متوازي الأضلاع=طول القاعدة×الارتفاع.
مساحة شبه المنحرف
- ومساحة شبه المنحرف=½×مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين×الارتفاع.
مساحة متوازي المستطيلات
- المساحة الجانبية لمتوازي المستطيلات=محيط القاعدة×الارتفاع.
- المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات=المساحة الجانبية+مساحة القاعدتين في المتوازي.
مساحة الشكل البيضاوي (الإهليجي)
- ومساحة الشكل البيضاوي=نصف قطر المحور الأكبر×نصف قطر المحور الأصغر×النسبة التقريبية ط.
- أي =نق المحور الأكبر×نق المحور الأصغر×ط.
مساحة المعين
- ومساحة المعين=طول قاعدة المعين×ارتفاع المعين.
مساحة الأسطوانة
- المساحة الجانبية للاسطوانة=محيط قاعدة الأسطوانة الدائرية×ارتفاع الأسطوانة.
- =2×نصف قطر الدائرة×ط×الارتفاع=2 نق ط×الارتفاع.
- المساحة الكلية للاسطوانة=المساحة الجانبية+مجموع مساحتي القاعدتين.
- =(2 نق ط×الارتفاع)+(2×نق2×ط).
مساحة المخروط
- المساحة الجانبية للمخروط القائم=نصف قطر قاعدة المخروط×طول الراسم×النسبة التقريبية ط.
- أي =نق×ل×ط.
- المساحة الكلية للمخروط القائم=المساحة الجانبية+مساحة القاعدة.
- أي =(نق×ل×ط) +نق2×ط.
مساحة الهرم
- المساحة الجانبية للهرم القائم=نصف محيط قاعدة الهرم×الارتفاع الجانبي للهرم.
- أي =1/2×طول قاعدة المثلث×ارتفاع المثلث×عدد المثلثات.
شاهد أيضًا: بحث عن متوازي الأضلاع وخواصه
مساحة المنشور
- مساحة سطح المنشور = مجموع مساحات وجوه المنشور+مجموع مساحتي القاعدتين.
- المساحة الجانبية للمنشور= محيط قاعدة المنشور ×ارتفاع المنشور.
مساحة السداسي المنتظم
- ومساحة السداسي المنتظم=3/2×الجذر التربيعي للعدد 3× (طول الضلع)2.
مساحة الكرة
- ومساحة سطح الكرة=4×مربع نصف قطر الدائرة×النسبة التقريبية ط.
- أي=4 نق2 ط.
مساحة المكعب
- مساحة المكعب الجانبية=4×طول ضلع المكعب×طول ضلع المكعب.
- أي =4×(طول الضلع)2.
- مساحة المكعب الكلية=6×طول ضلع المكعب×طول ضلع المكعب.
- أي =6× (طول الضلع)2.
مساحة رباعي الأسطح
- مساحة سطح الشكل رباعي السطوح=الجذر التربيعي للعدد 3×مربع طول الضلع.
- =الجذر التربيعي للعدد 3× (طول الضلع) 2.
مساحة الأشكال الهندسية غير المنتظمة
- الأشكال الهندسية المنتظمة المعروفة مثل: المربع، والمستطيل، والمثلث، والدائرة، ومتوازي الأضلاع وغيرها من الأشكال الهندسية يوجد لها قوانين ثابتة لحساب مساحاتها، أما الأشكال الهندسية غير المنتظمة، فيتطلب إيجاد مساحاتها إتباع بعض الطرق المعينة.
- ومن هذه الطرق محاولة تجزئة الشكل إلى عدة أجزاء ذات أشكال منتظمة يمكن حساب مساحة هذه الأجزاء منفصلة أولًا بسهولة، ثم يتم جمع تلك المساحات لإيجاد المساحة الكلية في الشكل غير المنتظم، مثل الغرف الكبيرة الحجم التي تكون على شكل حرف L.
المحيط
- المحيط هو طول الخط الذي يحيط بالشكل الهندسي، أي مجموع أطوال أضلاع هذا الشكل الهندسي، ومن الطرق البدائية البسيطة التي أتبعت قديمًا لإيجاد قياس بعض الأطوال، كانت عن طريق إحضار حبل أو خيطٍ رفيع.
- يوضع طرف الخيط على طرف الشكل الهندسي، ويمشي الخيط حوله، ثم يتم التوقف عند النقطة التي تم البدء منها.
- وعند فكه يتم قياس طول الخيط الذي تم تحديده من بدايته لنهايته باستخدام الشريط القياسي، حيث إن طول الحبل الذي أحاط بالشكل الهندسي يسمى المحيط، وكانت هذه الطريقة تستخدم قديمًا في قياس طول السياج الذي يحيط بمزرعٍة ما.
- هكذا إذًا المحيط هو طول الخط المغلق الذي تم رسمه مكونًا شكلًا هندسيًا مثل المربع أو الدائرة أو غيرهم من الأشكال الهندسية.
قوانين محيط الأشكال الهندسية
هكذا تختلف قوانين المحيط باختلاف الأشكال الهندسية واختلاف أبعاد هذه الأشكال وتتمثل قوانين قياس المحيط كالتالي:
محيط المثلث
- ومحيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
محيط الدائرة
- هكذا محيط الدائرة = 2 ×π× نق، أو = π × ق.
- هكذا حيث إن قيمة π تساوي 22/7 ويساوي تقريبًا (3.14).
محيط متوازي الأضلاع
- ومحيط متوازي الأضلاع = 2 × (الطول + العرض).
محيط المستطيل
- ومحيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض).
محيط المعين
- ومحيط المعين = 4× طول الضلع.
محيط المربع
- هكذا ومحيط المربع =4× طول الضلع.
محيط شبه المنحرف
- ومحيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه.
أمثلة على إيجاد مساحة ومحيط الأشكال الهندسية
مثال (١)
- أرض مستطيلة الشكل، محيطها 670 م، وعرضها يقل عن طولها بـ 35 م، أوجد عرض الأرض؟ ثم أوجد مساحة الأرض.
الحل
- محيط المستطيل = 2 × (الطول + العرض).
- 670 = 2 × (الطول + العرض).
- 335 = (الطول + العرض).
- ولكن 335 – 35 = 300.
- هكذا إذًا العرض = 300 ÷ 2 = 150.
- هكذا إذًا الطول = 150 + 35 = 185.
- مساحة المستطيل = الطول × العرض.
- مساحة الأرض = 185 × 150 = 27750 متر مربع.
مثال (2)
هكذا احسب أبعاد المستطيل إذا علمت أن مساحته تساوي 40 متر مربع، ومحيطه يساوي 26م.
الحل
- مساحة المستطيل = طـ×ع.
- 40= طـ×ع.
- محيط المستطيل =2×(طـ+ ع).
- 26÷ 2 = ط+ع.
- 13= ط+ع.
- 13- ط = ع.
- هكذا بتعويض المعادلة 2 في المعادلة 1، نحصل على: 40= ـ×(13- طـ).
- 40=13طـ – طـ.
- طـ² – 13طـ+40 = 0 (طـ -8) أو (طـ – 5) = 0 طـ = 8 أو 5.
- هكذا بتعويض قيمة الطول في المعادلة 2.
- هكذا نجد عرض المستطيل 13- طـ= ع.
- (13- 8 =ع) أو (13- 5 = ع).
- ع = 5 أو 8 بما أن طول المستطيل أكبر من عرضه فإن طوله يساوي 8 م، وعرضه يساوي 5 م.
مثال (3)
قطعة أرض مربعة الشكل، طول قطرها يساوي 700 متر، ما محيطها.
الحل
- هكذا نقوم بإيجاد طول الضلع عن طريق إيجاد المساحة. قانون مساحة المربع = (طول القطر²) /2.
(يتم اختيار القانون المناسب تبعا للمعطيات) بتطبيق القانون ينتج:
- مساحة المربع= (700×700) /2.
- مساحة الأرض= 245000م2.
نجد طول الضلع عن طريق قانون المساحة:
- هكذا مساحة المربع= طول الضلع × طول الضلع 245000 = (طول الضلع) ².
- وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن طول ضلع المربع= 494.97م.
- إيجاد محيط المربع، حيث إن محيط المربع= 4 × طول الضلع.
وبتعويض الأرقام ينتج:
- محيط المربع= 4×494.97.
- محيط الأرض = 1979.9م.
شاهد أيضًا: تعريف زاوية الميل باختصار
هكذا ومن هنا عزيزي المتابع نكون أنهينا معك اليوم مقالنا عن كيف نحسب المساحة والمحيط ونرجو أن يكون المقال قد نال إعجابكم، لا تنسوا لايك وشير للمقال لتعم الفائدة للجميع.