كيف يتم حساب مساحة مستطيل

كيف يتم حساب مساحة مستطيل علم الرياضيات أو علم الحساب هو من أقدم وأهم العلوم التي عرفها الإنسان على مر الزمان، إذ أنه يستخدم دائمًا في جميع مجالات الحياة، ولا يمكن الاستغناء عنه.

كيف يتم حساب مساحة مستطيل

  • الأشكال الهندسية كثيرة، منها المربع، والمستطيل، والمعين، والمثلث، والدائرة، وغيرها الكثير من الأشكال الهندسية.
  • المستطيل (Rectangle) هو شكل منتظم من الأشكال الهندسية، يتكون من أربعة أضلاع، كل ضلعين متقابلين متساويان في الطول، والزاوية بين كل ضلعين من أضلاع المستطيل زاوية قائمة أي تساوي 90°.

شاهد أيضًا: مساحة المثلث ومحيطه وحجمه

مساحة المستطيل

  • كيف يتم حساب مساحة مستطيل يعد حساب مساحة المستطيل أمرًا هامًا، إذ إن المستطيل موجود في كل حياة الإنسان متعلق بالغالبية العظمى من استخداماته، على سبيل المثال، إذا أراد شخص ما أن يركب سيراميك أو يفرش منزله بالسجاد، لا بدَّ من تحديد مساحات الغرف في المنزل ومعرفة كم مساحة السيراميك، والسجاد المطلوب لتغطية مساحة المنزل كاملًا حتى يستطيع أن يحسب مقدار التكلفة، وكذلك لو أراد أحد أن يشتري طاولة أو أي شيء آخر من أثاث المنزل، لا بدَّ من معرفة مقدار المساحة المتوفرة في المنزل قبل الشراء.

خصائص المستطيل

المستطيل له عدة خصائص أهمها ما يلي:

  • يحتوي المستطيل على اثنين من الأبعاد فقط هما: الطول والعرض.
  • جميع الزوايا داخل المستطيل متساوية وتساوي 90° (زوايا قائمة).
  • في المستطيل كل ضلعين متقابلين متوازيين.
  • في المستطيل كل ضلعين متقابلين متساويين في الطول.
  • مجموع زوايا أي مستطيل يساوي 360°.
  • مجموع مربع طول ضلعين في مستطيل يساوي مربع القطر، وهذه نظرية تعرف باسم نظرية فيثاغورث (Pythagoras theorem)، وذلك لأن كل قطر من أقطار المستطيل يقطع المستطيل إلى نصفين عبارة عن مثلثين متطابقين.
  • كل مربع هو مستطيل ولكن ليس كل مستطيل يكون مربع، لأن من شروط المربع أنه يتكون من أربعة أضلاع متساوية في الطول.
  • القطريين في المستطيل الواحد متساويان، ويقطعان وينصفان بعضهما البعض.
  • يملك المستطيل محورين تماثل، ومركز تماثل واحد، وهو نقطة تقاطع قطريه.
  • يملك المستطيل جميع خواص متوازي الأضلاع.
  • يختلف المستطيل عن المعين والمربع في أن قطراه غير متعامدين.

كيف يتم حساب مساحة مستطيل ومحيطه

يمكن حساب محيط المستطيل من خلال التالي:

القانون الأول

يمكن قياس محيط المستطيل إذا عرف كل من طوله وعرضه كالتالي:

  • محيط المستطيل =2 × (طول الضلع الأول (الطول) + طول الضلع الثاني(العرض).

القانون الثاني

يمكن إيجاد محيط المستطيل إذا علمت مساحة المستطيل، وطول أحد أضلاعه من خلال القانون التالي:

محيط المستطيل = (2× المساحة + 2× مربع الطول) / الطول.

حساب مساحة المستطيل

يتم حساب مساحة المستطيل حسب المعطيات المعلومة منه كالتالي:

القانون الأول

  • إيجاد مساحة المستطيل إذا عرفت كل أبعاده، وهما الطول والعرض.
  • مساحة المستطيل = (طول الضلع الأول (الطول) × طول الضلع الثاني (العرض).

القانون الثاني

  • إيجاد مساحة المستطيل إذا عرف محيط المستطيل وأحد أبعاده.
  • مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول-2× مربع الطول) ÷2.
  • مساحة المستطيل = (المحيط×العرض-2× مربع العرض) ÷2.

القانون الثالث

  • إيجاد مساحة المستطيل إذا عرف طول أحد أبعاده، وطول قطره.
  • مساحة المستطيل=الطول× (مربع القطر-مربع الطول) ^(1/2).
  • مساحة المستطيل =العرض× (مربع القطر-مربع العرض) ^(1/2).

شاهد أيضًا: بحث عن متوازي الأضلاع وخواصه

أمثلة على حساب مساحة المستطيل

مثال (1)

أوجد مساحة مستطيل طوله 5 سم، وعرضه 3سم.

الحل

  • المساحة = الطول×العرض.
  • المساحة = 5×3.
  • المساحة = 15 سم².

مثال (2)

أوجد طول قطر في مستطيل أبعاده: 3 سم، 4 سم.

الحل

  • (القطر) ²= (3)²+ (4)².
  • (القطر) ²= 9+16.
  • (القطر) ²= 25.
  • القطر = 5 سم.

مثال (3)

  • أوجد مساحة متوازي الأضلاع، طوله 4 سم، وعرضه ثلاثة أضعاف طوله.
  • الحل
  • العرض = ثلاثة أضعاف الطول.
  • العرض = 3× الطول.
  • العرض = 3×4= 12 سم.
  • المساحة = 12×4 = 48 سم².

مثال (4)

  • أوجد مساحة المستطيل الذي يصل طول قطره إلى 15 سم، ويبلغ طوله 4 سم.

الحل

  • مساحة المستطيل=الطول× (مربع القطر-مربع الطول) ^(1/2).
  • مساحة المستطيل = 4× (15^2-4^2) ^(1/2) مساحة المستطيل = 4× (225 -16) ^(1/2) مساحة المستطيل = 4×209 ^(1/2).
  • مساحة المستطيل = 57.8 سم².
  • أو يمكن إيجاد المساحة من القانون.
  • مربع القطر= مربع الطول + مربع العرض.
  • 15^2 = 4^2 + مربع العرض.
  • مربع العرض = 225-16.
  • مربع العرض = 209.
  • العرض = 14.45 سم.
  • مساحة المستطيل = الطول × العرض.
  • مساحة المستطيل = 14.45×4.
  • مساحة المستطيل = 57.8 سم².

مثال (5)

  • أوجد مساحة المستطيل، الذي يبلغ طول محيطه 12 سم، أما طول ضلع المستطيل فيبلغ 2 سم.

الحل

بحسب القانون:

  • مساحة المستطيل = (المحيط ×الطول-2× مربع الطول) /2.
  • مساحة المستطيل= (12×2-2×4) /2.
  • مساحة المستطيل = 8 سم².
  • أو محيط المستطيل = 2× الطول + 2× العرض.
  • 12 = 2×2+2× العرض.
  • العرض = 4 سم.
  • مساحة المستطيل= الطول × العرض.
  • مساحة المستطيل =4×2.
  • مساحة المستطيل = 8 سم².

مثال (6)

  • أوجد طول ضلع في مستطيل، محيطه 20 سم، وعرضه 6 سم.

الحل

  • محيط المستطيل = 2× الطول + 2× العرض.
  • 20 = 2× الطول + 2× 6.
  • الطول = 4 سم.

مثال (7)

  • أوجد قطر ومحيط المستطيل، الذي يملك مساحة تساوي 20 سم²، وطول أحد أضلاعه 4 سم.

الحل

بحسب القانون:

  • المساحة = الطول × العرض.
  • 20 = 4 × العرض.
  • العرض = 5 سم.
  • محيط المستطيل = 2× الطول +2× العرض.
  • محيط المستطيل = 2× 4+ 2×5.
  • محيط المستطيل = 8 + 1.
  • محيط المستطيل = 18 سم.

لإيجاد القطر:

  • مربع القطر = مربع الطول + مربع العرض.
  • مربع القطر = 5×5 + 4×4.
  • مربع القطر = 25 + 16.
  • مربع القطر = 41.
  • القطر = 6.4 سم.

مثال (8)

  • مثلثان متطابقان داخل مستطيل، طول كل من ضلعي القائمة لهما 3 سم، 4 سم.
  • أوجد طول الضلع الثالث لهما.

الحل

من خلال خصائص المستطيل، كل قطر من أقطار المستطيل ينصف المستطيل إلى مثلثين متطابقين، فإن الخط الواصل بين هذين المثلثين هو القطر، ويمكن إيجاده كما يلي:

  • مربع القطر = مربع الطول + مربع العرض. الطول والعرض هما أضلاع القائمة.

إذًا مربع القطر= 3^2 + 4^2.

مربع القطر = 25.

القطر = 25 سم.

مثال (9)

أقام عامل بناء بيت على شكل مستطيل، طوله 8 م وعرضه 6م، ما هي مساحة البيت ومقدار محيطه.

الحل

  • مساحة المستطيل=الطول×العرض.
  • مساحة المستطيل=8 م×6 م.
  • مساحة المستطيل=48 م².
  • محيط المستطيل=(2×الطول+العرض).
  • محيط المستطيل= (2×8 م+6 م).
  • محيط المستطيل= (2×14 م).
  • محيط المستطيل=28 م.
  • محيط البيت=28م.

مثال (10)

  • إذا كان محيط حديقة مستطيلة الشكل هو 48 م ومساحتها 40 م² ما هو طولها وعرضها.

الحل

  • نفترض أن طول الحديقة=س.
  • نفترض أن عرض الحديقة=ص.

من قانون محيط المستطيل نستنتج المعادلة الأولى وهي كما يلي:

  • محيط المستطيل=2×(الطول+العرض).
  • 48=2× (س+ص).
  • 48÷2= س+ص.
  • 14=س+ص.
  • 14-ص=س.

من قانون مساحة المستطيل نستنتج المعادلة الثانية، وهي كما يلي:

  • مساحة المستطيل=الطول×العرض.
  • 40=س×ص.
  • 40 ÷ ص=س.

بتعويض المعادلة الثانية في المعادلة الأولى:

  • 14-ص= (40÷ ص).
  • 14 ص-(ص2) =40.
  • 14 ص-(ص2)-40=0.
  • نضرب المعادلة في المقدار (-1).
  • (ص 2)-14 ص+40=0 نحلل المعادلة التربيعية لإيجاد قيمة ص:
  • (ص-4) (ص-10) =0 ص-4=0 أو ص-10=0 ص=4 أو ص=10.
  • نستنتج أن عرض المستطيل يمكن أن يكون 4 أو م10.

لإيجاد قيمة طول المستطيل نعوض في المعادلة الأولى قيم عرض المستطيل:

  • 14-ص=س.
  • 14-10=4.
  • أو 14-4=10.
  • بما أن طول الضلع الأكبر في المستطيل يمثل الطول إذن طوله= 10م وعرضه=4 م.

شاهد أيضًا: تعريف زاوية الميل باختصار

ونكون بهذا أنجزنا مقالنا اليوم عن كيف يتم حساب مساحة مستطيل ونرجو أن تكون المعلومات المقدمة مفيدة ليكم، لا تنسوا لايك وشير للمقال.

قد يعجبك ايضًا

اترك رد

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.