ترتيب العمليات الحسابية وقوانينها

ترتيب العمليات الحسابية وقوانينها تحتوي الرياضيات على مجموعة من الإشارات الحسابية المختلفة، مثل إشارة يساوي (=)، والتي تم استعمالها على يد الرياضي الإنجليزي روبرت ريكورد، بينما أول من استخدم إشارتي (+)،(-) كان الرياضي الألماني ويدمان، في حين أن أول من استخدم إشارتي (<)،(>) كان الرياضي الإنجليزي هاريوط، وتستخدم هذه الإشارات الحسابية في العديد من العمليات الحسابية المختلفة

العمليات الحسابية الأساسية

هناك أربع عمليات حسابية أساسية وهم عملية الجمع (+)، وعملية الطرح (-)، والضرب (×)، والقسمة(÷).

شاهد أيضًا: ما هي خصائص الأعداد الحقيقية

الجمع

  • يرمز إلى الجمع بعلامة زائد (+)
  • حيث أنه في عملية الجمع يستخدم المفهوم التالي: حد + حد = مجموع الحدين إذ يسمى العددان الذين يتم إضافتهم لبعضهما بالحدود ويشكلان مع بعضهم البعض ما يسمى المجموع.
  • عند إجراء عملية الجمع لا يهم ترتيب الحدود، إذ لا تتغير النتيجة بتغيير الترتيب
  • 7+5=12
  • 5+7=12.

الطرح

يرمز إلى الطرح بعلامة ناقص (-).

  • حيث أنه في عملية الطرح يستخدم المفهوم التالي: حد -حد = الفرق إذ يسمي العددان اللذين يتم طرحهم بالحدود ويشكلان مع بعضهم البعض الفرق، وأحيانًا في كثير من العمليات الحسابية يطلق على الفرق كلمة الاختلاف.
  • عند إجراء عملية الطرح يلعب ترتيب الحدود دورًا كبيرًا ويتغير الناتج تمامًا.
  • ٧-٥=٢
  • ٥-٧=-٢

الضرب

  • يرمز إلى عملية الضرب بأكثر من طريقة، لكن أكثر الطرق شيوعًا في السويد هي أن الضرب يتم الرمز إليه باستخدام نقطة مركزية صغيرة (⋅).
  • أما الطريقة الأكثر شيوعًا في البلاد العربية هي أن الضرب يرمز إليه بعلامة الضرب (×).

حيث أنه في عملية الضرب يستخدم المفهوم التالي:

  • حاصل الضرب = عامل × عامل
    يسمى العددان الذين يتم ضربهم بالحدين، وهم يشكلان مع بعضهم البعض حاصل الضرب.
  • عند إجراء عملية الضرب لا يهم ترتيب هذه العوامل، يظل حاصل الضرب هو نفسه، بدون تغيير بغض النظر عن الترتيب.
  • 5×7=35
  • 7×5=35

القسمة

يرمز إلى عملية القسمة بطرق مختلفة أيضًا، في السويد الرمز الأكثر شيوعا للقسمة هو شريط الكسر الأفقي (ـــــــ)، أو شريط الكسر المنحدر (/)، كما يمكن أيضا أن يرمز للقسمة بالخط الأفقي بين نقطتين (÷).

  • حيث أنه في عملية القسمة يستخدم الصورة التالية: خارج القسمة= البسط/المقام
  • خارج القسمة= البسط ÷المقام
    العدد الأول الذي يتم قسمته يسمى البسط.
  • العدد الثاني الذي يتم القسمة عليه يسمى المقام. البسط والمقام مع بعضهم البعض يشكلان خارج القسمة.
  • عند إجراء عملية القسمة الترتيب مهم جدا إذ تتغير النتيجة تمامًا
  • 35÷7=5
  • 7÷35=0.2

ترتيب العمليات الحسابية

  • ترتيب العمليات الحسابية عبارة عن قاعدة أساسية لتحديد أولويات هذه العملية الحسابية عند حل أي مسألة تحتوي على أكثر من عملية حسابية، أي يتم تقديم عملية حسابية على عملية حسابية أخرى من خلال أسس محددة للوصول إلى حل مقدار جبري يحتوي على أكثر من عملية حسابية من جمع وطرح وضرب وقسمة، وتحدد هذه الأولويات أي من العمليات الحسابية تتم أولًا، وأي من هذه العمليات الحسابية يتأخر ويتم ثانيًا.

ترتيب العمليات الحسابية وقوانينها

عند وجود أكثر من عملية حسابية داخل المقدار الجبري (الطرح والجمع، الضرب والقسمة) فإن أولويات هذه العمليات الحسابية تتحدد على حسب العمليات التي توجد في هذا المقدار الجبري.

شاهد أيضًا: ما الفرق بين العدد والرقم في الرياضيات

أولًا: إذا كان المقدار يخلو من الأقواس أو الجذور أو الأسس

في حالة خلو المقدار الجبري من الأقواس أو الأسس أو الجذور فإن ترتيب العملية الحسابية يتم كالتالي:

  • القسمة والضرب، أقوى من الجمع والطرح، وفي حال وجودهما في أحد المعادلات الرياضية فإن الأولوية تكون القسمة والضرب أولًا، ثم يأتي بعدهما عمليتي الجمع والطرح.
  • إذا كانت المقارنة بين الضرب والقسمة، فإن الترتيب والأولوية تتم حسب موقع العملية الحسابية في المسألة.
  • إذا كان المقدار مكتوبًا باللغة العربية، فإن الأولوية تكون لمن يقع جهة اليمين.
  • إذا كان المقدار مكتوبًا باللغة الإنجليزية، فإن الأولوية تكون لمن يقع جهة اليسار، أي أن الأولوية من حق العملية التي تكتب أولًا سواء كانت عملية ضرب أو عملية قسمة.
  • إذا كانت المقارنة بين عمليتي الجمع والطرح، فإن الترتيب والأولوية تتم حسب موقع الإشارة في المسألة.
  • إذا كان المقدار مكتوبًا باللغة العربية، الأولوية تكون لمن يقع جهة اليمين.
  • إذا كان المقدار مكتوبًا باللغة الإنجليزية، فإن الأولوية من جهة اليسار، أي أن الأولوية من حق العملية التي تكتب أولًا سواء كانت عملية جمع أو عملية طرح.

مثال (1)

  • أوجد ناتج المقدار التالي ١٠+٨×٥-٢٠؟

الحل

  • أولًا: يتم إيجاد حاصل الضرب، وذلك لأنه أقوى من الجمع والطرح، وهذا حسب أولويات العمليات الحسابية، وبالتالي ٥×٨=٤٠
  • إذًا يصبح المقدار: ١٠+٤٠-٢٠.

ثانيًا: يتم إيجاد ناتج الجمع، لأنه بدأ أولًا من جهة اليمين قبل الطرح، إذ أن العملية الحسابية مكتوبة باللغة العربية

فيكون ١٠+٤٠=٥٠

إذًا يصبح المقدار ٥٠-٢٠=٣٠

ناتج المقدار يساوي ٣٠.

مثال (2)

  • أوجد ناتج المقدار التالي ٣٢٠÷٨-٢×٩؟
  • أولًا: يتم إيجاد ناتج القسمة، إذ أنها تتفوق على الطرح، كما أنها تتفوق على الضرب في هذه المسألة لأن المسألة باللغة العربية وتبدأ من اليمين وبالتالي يصبح المقدار ٣٢٠÷٨=٤٠
  • ثانيًا: يتم إيجاد حاصل الضرب ٩×٢=١٨
  • وبالتالي يصبح المقدار: ٤٠-١٨=٢٢
  • إذا: ٣٢٠÷٨-٢×٩=٢٢.

مثال (3)

  • أوجد ناتج المقدار التالي:
  • ٢٧÷٣+٨×٥-٤٠÷٨؟

الحل

أولًا: يتم إيجاد ناتج القسمة التي تقع على اليمين

  • ٢٧÷٣=٩
  • وبالتالي يصبح المقدار
  • ٩+٨×٥-٤٠÷٨

ثانياً: يتم إيجاد حاصل ضرب ٨×٥=٤٠

  • إذ أصبح يقع جهة اليمين ويتفوق عن القسمة،
  • وبالتالي تصبح المعادلة ٩+٤٠-٤٠÷٨

ثالثًا: يتم إيجاد ناتج القسمة إذ يتفوق على الجمع والطرح ٤٠÷٨=٥

  • وبالتالي تصبح المعادلة٩+٤٠-٥

رابعًا: يتم إيجاد ناتج الجمع، إذ يتفوق على الطرح لأنه يقع جهة اليمين ٩+٤٠=٤٩

  • وبالتالي تصبح المعادلة ٤٩-٥

خامسًا: إيجاد آخر عملية وهي الطرح

  • ٤٩-٥= ٤٤
  • إذًا: ناتج المقدار ٢٧÷٨+٣×٤٠-٥÷٨=٤٤

ثانيًا: إذا كان المقدار يوجد به أقواس

الأقواس لها دور كبير في حل المسائل الحسابية، ووجودها في المقدار الجبري يعني تقدمها فهي تحل أولًا، فإن ترتيب العملية الحسابية يتم كالتالي:

  • أولًا إيجاد ناتج ما داخل الأقواس.
  • ثانيًا القسمة والضرب.
  • ثالثًا الجمع والطرح.

مثال (١)

  • أوجد ناتج المسألة التالية:
  • ١٢÷(٣×٢)+٥؟
الحل

اولًا: يتم حساب ما داخل الأقواس: (٣×٢) =٦

  • ثم يزال القوس لتصبح المعادلة: ١٢÷٦+٥

ثانيًا: يتم إيجاد ناتج القسمة، ١٢÷٦=٢

  • وبالتالي تصبح المعادلة، ٢+٥

ثالثًا: يتم إيجاد ناتج الجمع ٥+٢=٧

  • إذًا: ناتج المقدار ١٢÷(٣×٢) +٥=٧

مثال (٢)

  • أوجد ناتج المقدار التالي١٥-(١٩-١) ÷٣×٢؟
الحل

أولًا: يتم حساب ما داخل القوس،١٩-١=١٨

  • ثم يزال القوس ليصبح المقدار:
  • ١٥-١٨÷٣×٢

ثانيًا: يتم إيجاد ناتج القسمة،١٨÷٣=٦

  • يصبح المقدار١٥-٦×٢

ثالثًا: يتم إيجاد حاصل الضرب، ٦×٢=١٢

  • ويصبح المقدار ١٥-١٢

رابعًا: يتم إيجاد ناتج الطرح ١٥-١٢=٣

  • إذًا ناتج المقدار ١٥-(١٩-١) ÷٣×٢= ٣

ثالثًا: إذا كان المقدار يوجد به الأسس والجذور

إن ترتيب العمليات الحسابية يعتمد على ما يحويه المقدار من عمليات حسابية، فإذا احتوى المقدار على الأسس والجذور سيكون ترتيبها في الدرجة الثانية، كما يلي:

  1. أولًا: حساب ما داخل الأقواس.
  2. ثانيًا: الأسس والقوة (الثانية، الثالثة ،..)، وكذلك الجذور.
  3. ثالثًا: القسمة والضرب.
  4. رابعًا: الجمع والطرح
  5. مثال (1)
  • أوجد ناتج المقدار التالي: (3+2²) +49½؟
  • أولًا: يحسب ما داخل الأقواس، (3+2²) =7،
  • ثم يزال القوس ليصبح المقدار:7+49½.
  • ثانيًا: الجذر التربيعي، 49½ =7،

إذًا ناتج المقدار:(3+2²) +49½= 7+7=14.

شاهد أيضًا: ما هي الأعداد الأولية في الرياضيات

وبالتالي نكون أنهينا معكم مقال ترتيب العمليات الحسابية وقوانينها وذكرنا كل التفاصيل التي تفيد القارئ، إذا عجبك المقال لا تنسى لايك وشير لتعم الفائدة على الجميع.

قد يعجبك ايضًا

اترك رد

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.