ما هي خصائص الأعداد الحقيقية
ما هي خصائص الأعداد الحقيقية علم الرياضيات علم واسع وشامل، يضم الكثير من العمليات الحسابية الرياضية، التي تقوم بالأساس على الأعداد، والتي تتنوع تصنيفاتها أيضًا إلى أعداد غير صحيحة (كسور)، وأعداد صحيحة، وأعداد حقيقية وغيرها من تصنيفات الأعداد.
ما هي خصائص الأعداد الحقيقية
- الأرقام (numbers)، هي مجموعة من الرموز التي تستخدم في التعبير عن الأعداد التي تنحصر بين رقمي الصفر (0)، والتسعة (9)، وبالتالي فهي ليست أعدادًا، وإنما هي رموز تعبر عن كميات ومقادير لأشياء معينة.
- فعلى سبيل المثال رمز العدد سبعة يتكون من رقم واحد هو 7، بينما العدد سبعة وثلاثون يتكون من رقمين هما 7 و3.
- وبالتالي فإن الأعداد هي أساس العمليات الحسابية في علم الرياضيات، وتنقسم إلى ست مجموعات.
- والتي تنتمي إلى مجموعة تسمى الأعداد الحقيقية، وتعتبر الأرقام هي الأساس الذي تقوم عليه جميع العمليات الحسابية في مختلف المجالات مثل الرياضيات، والكيمياء، والفيزياء وغيرها.
الأعداد الحقيقية
- الأعداد الحقيقية (Real numbers)، وهي عبارة عن هي اتحاد مجموعة من الأعداد، والتي يتم تمثيلها على خط مستقيم ومتصل، وتعد الأعداد الحقيقية مجموعة غير منتهية، ويرمز لها بالرمز (ح).
شاهد أيضًا: ما هي الأعداد الأولية في الرياضيات
وتضم مجموعة الأعداد النسبية، مجموعة الأعداد غير النسبية، مجموعة الأعداد الصحيحة، ومجموعة الأعداد الطبيعية، كما يلي:
مجموعة الأعداد الطبيعية (ط)
الأعداد الطبيعية هي كالاتي:
- {0، 1، 2، 3، 4،….}.
- الأعداد الطبيعية (The natural numbers) هي مجموعة الأعداد التي تبدأ من العدد واحد، إذ يمكن الحصول على أي عدد منها عند جمع الواحد مع نفسه أكثر من مرة، 1+1=2.
- 1+1+1=3 ،1+1+1+1=4…. الخ، أي أن الأعداد الطبيعية هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والتي توجد على يمين الصفر في خط الأعداد، وهي مجموع لا متناهية.
مجموعة الأعداد الصحيحة (ص)
الأعداد الصحيحة هي كالآتي:
- {-3، -2، -1، 0، 1، 2، 3،….}.
- الأعداد الصحيحة (The Integer numbers) هي مجموعة الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة كسر.
- ومقامها يكون دائمًا يساوي واحد، وتضم مجموعة الأعداد السالبة ومجموعة الأعداد الموجبة وأيضًا الصفر، أي أنها اتحاد الأعداد الطبيعية مع الصفر وسالب الأعداد الطبيعية، وهي مجموعة لا متناهية.
الأعداد النسبية (ن)
- الأعداد النسبية (The rational numbers)، هي اتحاد مجموعة الأعداد الكسرية، والكسور العادية وجذور المربعات، والمكعبات الكاملة، وأي عدد يمكن كتابته على صورة كسر عشري منته أو كسر عشري متكرر، أي هي كل عدد يمكن كتابته على الصورة (أ /ب.
- حيث أن أ، ب عددان ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة، والعدد ب لا يساوي صفرًا، لأنه عند القسمة على صفر يكون الناتج قيمة غير معرفة، أما إذا كانت قيمة ب=1، فهذا يعني أن هذا الكسر ينتمي للأعداد الصحيحة، وتتمثل أشكال الكسر كما يلي:
– أن يكون كسرًا عشريًا منتهيًا، مثل الكسر 0.5=½
– أن يكون كسرًا عشريًا متكررًا غير منته، مثل الكسر…….0.333333=1/3.
الأعداد غير النسبية
- الأعداد غير النسبية
(The Irrational numbers)، هي مجموعة الأعداد غير المنتهية وغير الدورية، والتي لا يوجد لها جذور على صورة عدد طبيعي مثل الجذر التربيعي للعدد 2، أي هي الأعداد التي لا يمكن تحويلها لصورة كسر عادي يكون بسطها عدد صحيح ومقامها عدد صحيح.
مثل جذور المربعات غير الكاملة والكسور العشرية (غير المنتهية)، وكذلك باي (π)، فقد يعتقد الكثير من الأشخاص أنه ينتمي إلى الأعداد النسبية.
ولكن في الحقيقة π والتي تمثل النسبة بين محيط الدائرة إلى قطرها، هي عدد عشري غير منته (غير دوري)، قد تم تقريبه وكتابته على صورة 22/7 أو 3.14.
شاهد أيضًا: طريقة تقسيم الأعداد العشرية
خط الأعداد الحقيقية
- خط الأعداد الحقيقية عبارة عن خط أفقي يضم جميع الأعداد السالبة، والأعداد الموجبة، والصفر، إذ تعبر كل نقطة من نقاط خط الأعداد عن عدد حقيقي معين.
- ويوجد على طرفي خط الأعداد من الجهتين سواء من جهة الأعداد السالبة، أو من جهة الأعداد الموجبة علامة تسمى (إلى مالا نهاية)، ورمزها (∞)، وتعني أنه لا توجد نهاية للأعداد.
خصائص الأعداد الحقيقية
خصائص الأعداد الحقيقية هي: –
- إذا كانت أ، ب، ج أعداد تنتمي لمجموعة الأعداد الحقيقية، فإن:
- (أ +ب) يساوي عددًا حقيقيًا، وأيضًا (أ- ب) يساوي عددًا حقيقيًا
على سبيل المثال
- (7=5+2)، إذ أن العدد 7 هو عدد حقيقي.
- (5=9-4)، إذ أن العدد 5 هو عدد حقيقي أيضًا.
- (أ ×ب) يساوي عددًا حقيقيًا، وأيضًا (أ ÷ب) تساوي عددًا حقيقيًا ولكن بشرط أن ب لا تساوي صفر
على سبيل المثال
- (6=3×2)، إذ أن العدد 6 هو عدد حقيقي.
- (8÷2=4)، إذ أن العدد 4 هو عدد حقيقي.
- العنصر المحايد في عملية الجمع هو العدد صفر، وبالتالي فإن العدد صفر هو عدد حقيقي، حيث أن
- (5=0+5)
- العنصر المحايد في عملية الضرب هو العدد (1)
- حيث أن (5=1×5).
- النظير الجمعي لأي عدد حقيقي هو معكوس هذا العدد، فمثلًا النظير الجمعي للعدد (أ) هو (-أ).
- النظير الضربي لأي عدد حقيقي لا يساوي صفر، وإنما يساوي مقلوب هذا العدد، فمثلًا النظير الضربي للعدد (أ) هو (1/أ).
- العدد الحقيقي قد يكون عددًا جذريًا، أو قد يكون عددًا غير جذريًا.
- والعدد الحقيقي قد يكون عددًا جبريًا، أو قد يكون عددًا متساميًا.
- العدد الحقيقي قد يكون عددًا موجبًا أو قد يكون عددًا سالبًا، أو قد يكون مساويًا للصفر.
- تستخدم الأعداد الحقيقية في قياس الكميات المتصلة.
أمثلة توضح كيفية تصنيف الأعداد الحقيقية
بعض الأمثلة على تصنيف الأعداد الحقيقية
مثال1
- صنف الأعداد التالية إلى أعداد نسبية أو أعداد غير نسبية، مع توضيح السبب.
- العدد (…. 0.88888)
الحل
- يمثل العدد (…. 0.88888) كسر عشري متكرر وغير منته، إذ يمكن أن يكتب على صورة أ/ب، حيث أن أ، ب عددان صحيحان وب لا تساوي صفر،
- إذًا:(…. 0.88888) يعتبر عدد نسبي.
- العدد (……..0.151151115111115)
الحل
- يمثل العدد (……..0.151151115111115) كسر عشري غير منته، وكذلك ليس متكرر ضمن نمط معين، إذ لا يمكن كتابته على صورة (أ/ب) حيث (أ، ب) عددان صحيحان وب لا تساوي صفر، إذا هو عدد غير نسبي.
الجذر التربيعي للعدد 2
الحل
- يمثل الجذر التربيعي للعدد 2 جذر مربع غير كامل، إذ لا يمكن كتابته على صورة (أ/ب)؛ حيث أ، ب عددان صحيحان وب لا تساوي صفر إذًا يعتبر عدد غير نسبي
مثال2
- صنّف الأعداد التالية إلى أعداد طبيعية، وصحيحة، ونسبية، وغير نسبية، وأعداد حقيقية.
(1, 0.52, -15, ½)
الحل
- الأعداد الطبيعية (1)
- الأعداد الصحيحة (1، -15)
- والأعداد النسبية (1، 0.52، -15, ½)
- الأعداد غير النسبية (لا يوجد)
- الأعداد الحقيقية (1، 0.52، -15, ½)
العلاقة بين مجموعات الأعداد
هناك علاقة بين مجموعات الأعداد، والتي تساعد في تسهيل العمليات الحسابية وهي كما يلي:
- كل عدد طبيعي، هو عدد حقيقي، وعدد نسبي، وعدد صحيح.
- وكل عدد صحيح، هو عدد حقيقي، وعدد نسبي.
- كل عدد نسبي، هو بالتأكيد عدد حقيقي.
- كل عدد غير النسبي هو أيضًا عدد حقيقي.
شاهد أيضًا: ما هي الأعداد الزوجية والأعداد الفردية
الأعداد الحقيقية في الفيزياء
تستخدم الأعداد الحقيقية في علم الفيزياء للتعبير عن المقاييس، وذلك لسببين:
- أولًا أن المفاهيم الفيزيائية مثل التسارع، والسرعة اللحظية، تنتج من خلال النظريات رياضية، والتي تهتم كثيرًا بالأعداد الحقيقية، وأن المفاهيم الفيزيائية تكون أكثر دقة، إذا تم التعبير عنها بالأعداد الحقيقية
- ثانيًا أن نتيجة الحسابات الفيزيائية التي لا يتم التعبير عنها بأعداد كسرية، بدون أن يأخذها علماء الفيزياء بعين الاعتبار في نتائجهم، وذلك لأنها لا تحمل أي معنى فيزيائي.
هكذا وفي النهاية نرجو أن نكون قد قدمنا لكم موضوعًا مفيدًا وشاملًا عن ما هي خصائص الأعداد الحقيقية ونرجو أن نكون قد أفدناكم.