مساحة متوازي المستطيلات وحجمه
مساحة متوازي المستطيلات وحجمه تحيط بالإنسان في حياته اليومية أشكالًا مختلفة ومتعددة من الأشكال الهندسية التي تختلف أبعادها، وأشكالها والحيز الذي تشغله، ومن أكثر الأشكال المعروفة المربع والمستطيل ومتوازي الأضلاع والدائرة ومتوازي المستطيلات وغيرها الكثير.
المحتويات
عرض
مساحة متوازي المستطيلات وحجمه
- متوازي المستطيلات(Cuboid)، هو مجسم هندسي ثلاثي الأبعاد، أي ذو ثلاثة أبعاد (الطول والعرض والارتفاع).
- ويتكون من ستة أوجه مستطيلة الشكل، وجهان من الأوجه هما قاعدتي المجسم، أما الأربعة أوجه المتبقية فهم أوجه جانبية لمتوازي المستطيلات أي أن متوازي المستطيلات هو منشور رباعي قائم (أي جميع زواياه قائمة قياسها 90 درجة)، يتكون من زوج من القواعد المتطابقة والمتوازية.
شاهد أيضًا: بحث عن متوازي الأضلاع وخواصه
خصائص متوازي المستطيلات
يتصف متوازي بعدد من الخصائص التي تميزه عن غيره من الأشكال الهندسية وهي كما يلي:
- متوازي المستطيلات مجسمًا ذو أبعاد ثلاثية، وهي: الطول، والعرض، والارتفاع
- متوازي المستطيلات له ستة جوانب، كل جانب منها على شكل مستطيل، وفيه كل جانبين متقابلين متطابقين.
- ومتوازي المستطيلات يمكن أن يكون مكعبًا عندما تتساوى أطوال أضلاعه.
- كل زوج من المستطيلات المتقابلة متطابقة أيضًا.
- متوازي المستطيلات يتكون من قطع مستقيمة تسمى الأحرف.
- تشكل الأضلاع التي تكون المستطيلات حين تتقاطع عند نقاط ما يسمى رؤوس متوازي المستطيلات
- قطر متوازي المستطيلات فهو عبارة عن القطعة المستقيمة التي تصل بين كل رأسين غير متجاورين ولا يشتركان بأي من الوجوه، ويتقابل قطري متوازي المستطيلات على ارتفاعين مختلفين.
- زوايا متوازي المستطيلات متساوية، وقياسها 90 درجة.
أولًا: -مساحة متوازي المستطيلات
- المساحة هي قياس للمنطقة المحصورة في نطاق معين على سطح ما من أسطح الأشكال الهندسية.
- ويتكون متوازي المستطيلات من عدة أوجه وحتى يمكن حساب مساحته يمكن حساب مساحة كل وجه، ثم يتم حساب مساحات أوجهه كاملة، وحيث أن كل زوج من الجوانب المتقابلة متطابقة
فإن مساحة متوازي المستطيلات تساوي:
2 × (مساحة الوجه الأول) + 2 × (مساحة الوجه الثاني) + 2 × (مساحة الوجه الثالث).
أي أن:
المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات
- المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
- أما المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع. حيث أن:
- مساحة المستطيل= الطول × العرض
- محيط المستطيل= 2× (الطول+ العرض).
أمثلة على حساب مساحة متوازي المستطيلات
بعض الأمثلة التي توضح كيفية إيجاد مساحة متوازي المستطيلات كما يلي:
مثال(1)
- أوجد مساحة علبة على شكل متوازي مستطيلات، إذا علمت أن: طول العلبة = 9 سم، وعرض العلبة= 14 سم، الارتفاع 6 سم.
الحل
أولًا يتم إيجاد المساحة الجانبية وهي:
- محيط القاعدة × الارتفاع.
- المساحة الجانبية =2 × (الطول + العرض) ×الارتفاع
- والمساحة الجانبية = 2 × (9+ 14) × 6.
- المساحة الجانبية = 2×23×6.
- المساحة الجانبية =276 سم².
ثانيًا: يتم إيجاد المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات وهي:
- المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
- المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات=
- 276 + 2(9×14)
- المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات=
- 276 + 2× (126).
- المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 276 +252
- المساحة الكلية لمتوازي المستطيلات= 528 سم².
مثال(2)
- هكذا أرادت فتاة صناعة علبة مجوهرات من الكرتون المقوى، طوله يساوي 50سم، وعرضه 40 سم أما ارتفاعه فيساوي 30 سم، فما هي مساحة الكرتون اللازم لصناعة العلبة؟
الحل
أولًا: يتم إيجاد المساحة الجانبية وهي:
- محيط القاعدة× الارتفاع.
- المساحة الجانبية للصندوق=
- 2× (الطول+ العرض) ×الارتفاع.
- المساحة الجانبية للصندوق = 2× (50+ 40) ×30 المساحة الجانبية للصندوق= 2×90×30.
- إذًا: المساحة الجانبية للصندوق= 5400 سم².
ثانيًا: يتم إيجاد المساحة الكلية للعلبة وهي:
- هكذا المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
- المساحة الكلية للصندوق= 5400 + 2(50×40)، المساحة الكلية للصندوق= 5400 + 2(2000)، المساحة الكلية للصندوق= 5400+4000.
- إذًا مساحة الكرتون اللازم لصناعة العلبة هو
- 9400 سم².
مثال(3)
- هكذا خزان مياه على شكل متوازي مستطيلات، فيه طول القاعدة يساوي 6 م، وعرضها يساوي4 م، أما ارتفاع الخزان فيساوي 12 م، أوجد مساحة الخزان.
الحل
- المساحة الكلية لخزان المياه =
- المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين.
- والمساحة الكلية لخزان المياه= 2× (الطول+ العرض) × الارتفاع+ 2× (الطول × العرض). يتم تعويض قيمة الطول والعرض والارتفاع في القانون
- المساحة الكلية لخزان المياه=
- (2×(6+4) ×12)+ (2 (6×4)).
- المساحة الكلية لخزان المياه=
- (2× 10×12)+ (2 (24)).
- المساحة الكلية لخزان المياه= 240+48.
- هكذا إذًا: المساحة الكلية لخزان المياه= 288 م².
شاهد أيضًا: كيف نحسب المساحة والمحيط
مثال(4)
- هكذا أراد هاني طلاء صندوق خشبي بدون غطاء على شكل متوازي مستطيلات أبعاده (الطول، العرض، الارتفاع) على التوالي 2 سم، 3.5 سم، 3 سم، أوجد مساحة المنطقة التي تم طلاؤها.
الحل
أولًا يتم إيجاد المساحة الجانبية وهي:
- محيط القاعدة × الارتفاع.
- المساحة الجانبية للصندوق=
- 2× (الطول+ العرض) × الارتفاع.
- المساحة الجانبية للصندوق = 2× (2+ 3.5) × 3. المساحة الجانبية للصندوق= 2 × 5.5 ×3.
- هكذا إذًا: المساحة الجانبية للصندوق= 33 سم².
ثانيًا: يتم إيجاد المساحة الكلية للصندوق وهي:
- المساحة الجانبية+ مساحة القاعدة الواحدة
- (لأن الصندوق بدون غطاء وبهذا فإن الصندوق يحتوي على قاعدة سفلية فقط)
- المساحة الكلية للصندوق= 33 + (2×3.5). المساحة الكلية للصندوق=33 + 7.
- إذًا مساحة المنطقة التي تم طلاؤها هي 40 سم².
ثانيًا: -حجم متوازي المستطيلات
- الحجم عبارة عن مقياس فيزيائي لقياس الحيز الذي يشغله جسم معين في المكان، ويختلف الحجم عن المساحة في أنها مقياس لحيز ثنائي الأبعاد، في حين أن الحجم هو مقياس لحيز ثلاثي الأبعاد.
- هكذا إيجاد حجم متوازي المستطيلات أمر شديد الأهمية، فهناك العديد من المجسمات التي توجد في البيئة المحيطة بالإنسان على شكل متوازي مستطيلات، فمثلًا الرغبة في معرفة سعة خزان مياه، أو حجم صندوق خشبي وغيرها من الكثير من الأمور.
- هكذا إذ ينتمي متوازي المستطيلات إلى عائلة المنشور أو الموشور فهو موشور ذو زوايا قائمة، وحيث أن متوازي المستطيلات هو عبارة عن مجسم فإن مقدار حجمه هو ناتج ضرب أبعاده الثلاثة
- (الطول، العرض، الارتفاع) في بعضها البعض.
- هكذا حجم متوازي المستطيلات=
- الطول × العرض× الارتفاع.
إذًا
- حجم متوازي المستطيلات=
- مساحة القاعدة ×الارتفاع
- طول متوازي المستطيلات=
- هكذا حجم متوازي المستطيلات÷ (العرض ×الارتفاع).
- عرض متوازي المستطيلات =
- هكذا حجم متوازي المستطيلات÷ (الطول ×الارتفاع).
- ارتفاع متوازي المستطيلات =
- حجم متوازي المستطيلات÷ (الطول ×العرض).
أمثلة على حساب حجم متوازي المستطيلات
هكذا بعض الأمثلة التي توضح كيفية حساب حجم متوازي المستطيلات وهي كما يلي:
مثال (1)
- هكذا علبة ألوان على شكل متوازي مستطيلات، طول قاعدتها 3 سم وعرضها 1.5 سم، أما ارتفاعها فيساوي 2 سم، أوجد حجمها.
الحل
- حجم متوازي المستطيلات=
- الطول × العرض× الارتفاع.
- هكذا حجم متوازي المستطيلات= 3 ×1.5×2
- إذًا: حجم علبة الألوان= 9 سم³.
مثال(2)
- متوازي مستطيلات طوله 4 سم، وعرضه 8 سم، وارتفاعه 3 سم، أوجد حجمه.
الحل
- هكذا حجم متوازي المستطيلات= حاصل ضرب أبعاده الثلاثة
- هكذا حجم متوازي المستطيلات= الطول ×العرض ×الارتفاع = 4×8×3 = 96 سم³
مثال(3)
- متوازي مستطيلات حجمه 150 م³، وعرضه 10 م، وارتفاعه 3 م، أوجد مساحة قاعدته، وطوله.
الحل
- هكذا مساحة القاعدة= الطول ×العرض =الحجم/الارتفاع =3÷150 =50 م³
- طول متوازي مستطيلات= مساحة القاعدة/العرض=50÷10=5 م
مثال(5)
- متوازي مستطيلات مساحة قاعدته 500 سم²، وارتفاعه 15 سم، أوجد حجمه.
الحل
- حجم متوازي المستطيلات = مساحة القاعدة ×الارتفاع
- وحجم متوازي المستطيلات = 500×15
- حجم متوازي المستطيلات =7500 سم³
مثال(6)
- هكذا متوازي مستطيلات شكل وجهه مربع، مساحة قاعدته 144سم²، أوجد طوله، وعرضه، وارتفاعه، وحجمه.
الحل
- مساحة القاعدة= الطول ×العرض
- (هذا مكعب يكون فيه الطول= العرض=الارتفاع) مساحة القاعدة= الضلع²
- أي أن 144= الضلع²
- هكذا بالتالي فإن طول الضلع= 12
- هكذا ينتج أن: الطول = 12 سم العرض= 12 سم الارتفاع= 12 سم
- حجم متوازي المستطيلات= الطول × العرض× الارتفاع
- حجم متوازي المستطيلات= 12×12×12
- إذًا الحجم=³12= 1728سم³.
شاهد أيضًا: ما محيط المربع ومساحته
هكذا تكلمنا اليوم عن مساحة متوازي المستطيلات وحجمه وذكرنا كل التفاصيل التي تخص تلك المقال، نرجو أن تكون المعلومات التي قدمتها أفادتكم، لا تنسوا لايك وشير لتعم الفائدة على الجميع.