طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين

طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين علم الإحصاء هو فرع من فروع الرياضيات، وهو ذو تطبيقات واسعة، حيث يهتم علم الإحصاء بجمع وتمثيل وتلخيص وإيجاد الاستنتاجات من خلال مجموعة من البيانات المتوفرة، وهو علم ذو أهمية كبيرة في شتى مجالات العلوم بداية من علم الفيزياء إلى العلوم الاجتماعية وحتى العلوم الإنسانية، كما يلعب علم الإحصاء دورًا هاما في مجال السياسة والأعمال.

طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين

  • يستخدم علماء علم الإحصاء عدد من المقاييس لتحديد درجة انحراف البيانات عن القيمة المتوسطة وهو ما يطلق (مقاييس التشتت dispersion)، حيث أن التشتت هو أحد أهم خصائص البيانات التي تقوم بتحديد مدى تناغم وتجانس القيم مع بعضها البعض، أو تحديد مدى تباعد هذه القيم عن بعضها البعض، فإذا كانت البيانات متناغمة ومتقاربة ضمن نقطة تركيز معينة، فإن هذا يعني أنها متناغمة غير مشتتة، أما إذا كانت البيانات متفرقة ومتباعدة عن بعضها البعض فلا تتجمع ضمن نقطة تركيز معينة، ما يعني أن هذه البيانات مشتتة.
  • مقدار التشتت يكون كبيرًا إذا كانت البيانات متباعدة عن بعضها البعض بشكل كبير، ويكون مقدار التشتت صغيرًا إذا كانت البيانات متباعدة عن بعضها البعض بشكل صغير ومحدود، أي أنها علاقة طردية كلما ازداد تباعد البيانات عن بعضها البعض زاد التشتت، وكلما نقص تباعد البيانات عن بعضها البعض قل التشتت.

شاهد أيضًا: طريقة حساب العمر يدويًا

التشتت له مجموعة من المقاييس التي تساعد على قياس مدى تشتت القيم أو مدى توافقها، ومن أشهر مقاييس التشتت التي تستخدم في علم الإحصاء ما يلي:

  • المدى(Range)
  • نصف المدى الربيعي
  • الانحراف المعياري (Standard Deviation)
  • الانحراف المعياري المتوسط.
  • التباين. (Variance)

أولًا الانحراف المعياري

  • الانحراف المعياري (Standard Deviation)
  • هو أحد مقاييس التشتت التي تعتمد على القيام بإيجاد الفرق أو الاختلاف بين قيمة كل مشاهدة على حدة، وإيجاد قيمة المتوسط الحسابي لمجموع المشاهدات.
  • إذ يعد الانحراف المعياري من أفضل المقاييس التي تستخدم لقياس مدى تباعد أو تناغم البيانات عن متوسطها الحسابي، إذ يحسب الانحراف المعياري عن طريق إدخال جميع القيم وحسابها وليس من خلال قيمتين أو ثلاثة قيم فقط، ولذلك يتميز بدقته عن مقاييس التشتت الأخرى.

خطوات حساب الانحراف المعياري

حتى يمكن حساب الانحراف المعياري لمجموعة ما من القيم يمكن اتباع عدد من الخطوات، وهي كالتالي:

الخطوة الأولى

  • يتم حساب المتوسط الحسابي لهذه القيم، وذلك عن طريق جمع هذه القيم وتقسيمها على عددها.

 الخطوة الثانية

  • يتم حساب مقدار انحراف كل قيمة من هذه القيم عن المتوسط الحسابي، وذلك بطرح الوسط الحسابي من كل قيمة.

الخطوة الثالثة

  • يتم تربيع انحراف كل قيمة من القيم على حدة، ثم يتم جمع مربعات انحرافات القيم جميعها مع بعضهم البعض.

الخطوة الرابعة

  • يتم تطبيق قانون الانحراف المعياري وهو عبارة عن (الجذر التربيعي لمجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم-1).

أمثلة كيفية حساب الانحراف المعياري

توضح الأمثلة كيفية حساب الانحراف المعياري لمجموعة من القيم، كما يلي:

مثال(١)

  • احسب الانحراف المعياري للقيم التالية: 3, 2, 4, 5, 6,7, 8.

الحل

  • أولًا: يتم إيجاد المتوسط الحسابي لهذه القيم
  • المتوسط الحسابي للقيم =مجموع القيم ÷ عدد القيم
  • المتوسط الحسابي=(3+2+4+5+7+6+8)÷7
  • المتوسط الحسابي= 35÷7=5
  • إذًا: المتوسط الحسابي للقيم=5

شاهد أيضًا: طريقة حساب كتلة جسم الإنسان

ثانياً:

  • يتم توضيح إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي: القيم القيمة-الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي) ²
القيم القيمة-الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي)²
3 3-5=-2 4
2 2-5=-3 9
4 4-5=-1 1
5 5-5=0 0
7 7-5=2 4
6 6-5=1 1
8 8-5=3 9
  • المجموع 4+9+1+0+4+1+9=28

ثالثًا:

  • يتم تطبيق قانون الانحراف المعياري
  • الانحراف المعياري=
  • (الجذر التربيعي لمجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم-1).
  • الانحراف المعياري للقيم=28 ÷ (7-1)
  • الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل
  • ( 28÷6)
  • الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي ل
  • (4.6666).
  • إذًا: الانحراف المعياري للقيم= 2.16 تقريًبا.

مثال(2)

  • إذا كانت العلامات اليومية لأربعة طلاب من الصف السادس في مادة العلوم كالآتي:5,5,5,5 احسب الانحراف المعياري لعلامات هؤلاء الطلاب

الحل

  • بما أن علامات الطلاب متساوية تمامًا، وجميعهم حاصلين على العلامة 5
  • بالتالي متوسط العلامات هي 5.
  • المتوسط الحسابي للعلامات=(5+5+5+5) ÷4
  • 20÷4=5
  • يتم إيجاد انحرافات القيم عن وسطها وتربيعها بالجدول التالي:
القيم القيمة-الوسط الحسابي (القيمة -الوسط الحسابي)²
5 5-5=0 صفر
5 5-5=0 صفر
5 5-5=0 صفر
5 5-5=0 صفر
المجموع صفر صفر

 

  • يلاحظ من الجدول أن انحراف كل قيمة عن المتوسط الحسابي تساوي صفر، وذلك بسبب تشابه كل القيم، إذ إنه لا يوجد أي قيمة تبعد عن المتوسط، وبالتالي فإن الانحراف المعياري لهذه العلامات صفر: الانحراف المعياري لعلامات الطلاب =
  • (الجذر التربيعي لمجموع مربعات انحراف القيم عن المتوسط) ÷ (عدد القيم-1).
  • الانحراف المعياري=الجذر التربيعي لـ (0÷3)
  • الانحراف المعياري للقيم= الجذر التربيعي لـ (صفر).
  • إذًا:
  • الانحراف المعياري لعلامات الطلاب =صفر.

ثانيًا التباين

  • يعتبر التباين (Variance)، من القوانين التي يتم استخدامها على نطاقٍ واسع في مجال الإحصاء، حيث يعتمد قانون التباين على أخذ عينة من المجتمع وليس كل عناصر المجتمع بأكمله ثم القيام بإجراء الدراسات والأبحاث على هذه العينة، إذ أن التباين هو أحد مقاييس التشتت التي تعتمد على إيجاد الفرق بين قيمة كل مشاهدة على حدة، والمتوسط الحسابي لمجموع المشاهدات.

طرق حساب التباين

أولا: التباين في البيانات غير المبوبة

إذا كان س1، س2، س3، …….، س ن
هي مجموعة بيانات من عينة في مجتمع ما عددها ن، وكان الوسط الحسابي لها يعطى بالعلاقة الرياضية التالية:

  • الوسط الحسابي = (س1+ س2+ س3+ …. + س ن) / ن
  • قانون التباين يعطى بالعلاقة الرياضية التالية:
  • قانون التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²/ (ن -1)

مثال

تم دراسة عينة علامات طلاب كلية العلوم في إحدى الجامعات، وكانت العلامات على النحو الآتي:

7، 5، 9، 6، 8 علمًا أن العلامة النهائية هي 20، احسب التباين في علاماتهم.

شاهد أيضًا: كيفية حساب النسب المئوية في الرياضيات

الحل
  • يتم حساب الوسط الحسابي:
  • الوسط الحسابي = (س1+س2+س3+ …. + سن) / ن
  • الوسط الحسابي = (7+5+9+6+8) / 5
  • الوسط الحسابي = 35/ 5 الوسط الحسابي = 7.
    نجد قيمة (ن-1):
  • ن-1= 5-1 ن-1 = 4
  • يتم حساب مربعات الانحرافات لكل قيمة من خلال الجدول الآتي:
القيم الموجودة الانحراف=س-الوسط الحسابي مربع الانحراف = (س -الوسط الحسابي) ²
7 7-7=0 0
5 5-7=-2 4
9 9-7=2 4
6 6-7=-1 1
8 8-7=1 1
المجموع

35

المجموع

صفر

المجموع

10

  • يتم التطبيق على قانون التباين للحصول على التباين: التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²/ (ن-1) التباين = 10/ 4 التباين = 2.5

ثانيا: التباين في البيانات المبوبة

  • يمكن حساب التباين في البيانات المبوبة من خلال القانون الآتي:
  • قانون التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²× (تكرار الفئة) / (ن-1)

مثال

  • أوجد التباين للتوزيع التكراري الآتي:
التكرار الفئة
2 5-0
4 10-5
7 15-10
6 20-15
8 25-20
9 30-25

 

الحل
  • يتم حساب الوسط الحسابي:
  • الوسط الحسابي = (س1+س2+س3+ …. + سن) / ن
  • الوسط الحسابي = (2+4+7+6+8+9) / 6
  • الوسط الحسابي = 36 / 6
  • الوسط الحسابي = 6
  • يتم حساب تكرار الفئة:
  • تكرار الفئة = (0+5) / 2
  • تكرار الفئة = 2.5
  • يستخدم تكرار الفئة 2.5 لكل الفئات.
  • نجد قيمة (ن-1): ن-1 = 6-1
  • ن-1= 5
    يتم حساب مربعات الانحرافات لكل قيمة من خلال الجدول الآتي:
القيم الموجودة الانحراف=س-الوسط الحسابي مربع الانحراف = (س -الوسط الحسابي) ²
2 2-6=-4 16
4 4-6=-2 4
7 7-6=1 1
6 6-6=0 0
8 8-6=2 4
9 9-6=3 9
المجموع

35

المجموع صفر المجموع

34

  • يتم تطبيق قانون التباين للحصول على التباين:
  • قانون التباين = مجموع (س -الوسط الحسابي) ²× (تكرار الفئة) / (ن-1)
  • قانون التباين = (34×2.5) / 5
  • التباين = 85÷5
  • التباين = 17.

شاهد أيضًا: كيفية حساب مساحة البناء

وبهذا نكون ختمنا مقالنا اليوم عن طريقة حساب الانحراف المعياري والتباين نرجو أن يكون المقال قد نال إعجابكم، لا تنسوا لايك وشير للمقال لتعم الفائدة على الجميع.

موضوعات من نفس القسم

اترك رد

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني.